Номер 14.6, страница 117 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите уравнения (14.6–14.10):

14.6. 1) $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$;

2) $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$;

3) $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2} + 2$;

4) $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 5x + 1} + 1 = 2x$.

Первым шагом уединим корень в левой части уравнения:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$.

Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, правая часть уравнения должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение на возможные значения $x$:

$2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Также выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$. Однако при $x \ge \frac{1}{2}$ это условие выполняется автоматически, так как при $x = \frac{1}{2}$ значение выражения равно $(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 1 > 0$, а при увеличении $x$ оно только возрастает.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2x - 1$ в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$(\sqrt{x^2 + 5x + 1})^2 = (2x - 1)^2$

$x^2 + 5x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - x^2 - 4x - 5x + 1 - 1 = 0$

$3x^2 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Сравним полученные корни с найденным ранее ограничением $x \ge \frac{1}{2}$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет этому условию ($0 < \frac{1}{2}$), следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge \frac{1}{2}$), следовательно, это решение уравнения.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3^2 + 5 \cdot 3 + 1} + 1 = \sqrt{9 + 15 + 1} + 1 = \sqrt{25} + 1 = 5 + 1 = 6$.

$2x = 2 \cdot 3 = 6$.

$6 = 6$, что является верным равенством.

Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $\sqrt{x + 2} = 2 + \sqrt{x - 6}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = (2 + \sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 6} + (\sqrt{x - 6})^2$

$x + 2 = 4 + 4\sqrt{x - 6} + x - 6$

$x + 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 6}$

Упростим уравнение, уединяя оставшийся радикал:

$2 - (-2) = x - x + 4\sqrt{x - 6}$

$4 = 4\sqrt{x - 6}$

$1 = \sqrt{x - 6}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x - 6})^2$

$1 = x - 6$

$x = 7$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 6$). Корень $x=7$ удовлетворяет этому условию.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$.

$2 + \sqrt{7 - 6} = 2 + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

$3 = 3$, что является верным равенством.

Ответ: $7$.

3) Дано уравнение $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x - 2} + 2$.

Найдем ОДЗ:

$3x - 2 \ge 0 \implies x \ge \frac{2}{3}$

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Общая ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 2})^2 = (\sqrt{x - 2} + 2)^2$

$3x - 2 = (\sqrt{x - 2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x - 2} + 2^2$

$3x - 2 = x - 2 + 4\sqrt{x - 2} + 4$

$3x - 2 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2}$

Упростим уравнение, уединяя радикал:

$3x - x - 2 - 2 = 4\sqrt{x - 2}$

$2x - 4 = 4\sqrt{x - 2}$

Разделим обе части на 2:

$x - 2 = 2\sqrt{x - 2}$

Возведем обе части в квадрат еще раз:

$(x - 2)^2 = (2\sqrt{x - 2})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x - 2)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x - 8$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 6.

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($x \ge 2$).

Проверим оба корня:

При $x=2$: $\sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\sqrt{2 - 2} + 2 = 0 + 2 = 2$. Верно.

При $x=6$: $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $\sqrt{6 - 2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$. Верно.

Ответ: $2; 6$.

4) Дано уравнение $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{22 - x} = 2 + \sqrt{10 - x}$.

Найдем ОДЗ:

$22 - x \ge 0 \implies x \le 22$

$10 - x \ge 0 \implies x \le 10$

Общая ОДЗ: $x \le 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{22 - x})^2 = (2 + \sqrt{10 - x})^2$

$22 - x = 4 + 4\sqrt{10 - x} + (10 - x)$

$22 - x = 14 - x + 4\sqrt{10 - x}$

Упростим уравнение:

$22 - 14 = 4\sqrt{10 - x}$

$8 = 4\sqrt{10 - x}$

$2 = \sqrt{10 - x}$

Снова возведем в квадрат:

$2^2 = (\sqrt{10 - x})^2$

$4 = 10 - x$

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Проверим, принадлежит ли корень $x=6$ ОДЗ ($x \le 10$). Да, $6 \le 10$.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{22 - 6} - \sqrt{10 - 6} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

$2 = 2$, что является верным равенством.

Ответ: $6$.