Вопросы, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие уравнения могут быть получены в ходе решения иррационального уравнения?

2. Почему при решении иррационального уравнения уделяется внимание области допустимых значений переменной?

1. Какие уравнения могут быть получены в ходе решения иррационального уравнения?

При решении иррационального уравнения основной задачей является устранение радикала (знака корня). Стандартный метод для этого — возведение обеих частей уравнения в степень, которая равна показателю корня. Например, для уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ обе части возводят в квадрат, а для уравнения вида $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ — в куб.

В результате такого преобразования иррациональное уравнение сводится к рациональному уравнению, то есть уравнению, не содержащему переменную под знаком корня. В зависимости от вида функций $f(x)$ и $g(x)$, полученное рациональное уравнение может быть:

• Линейным, если после всех преобразований и упрощений переменная остается в первой степени. Например, при решении уравнения $\sqrt{x-1} = 4$ после возведения в квадрат получаем линейное уравнение $x-1 = 16$.
• Квадратным, если после упрощений старшая степень переменной равна двум. Например, из уравнения $\sqrt{x+5} = x-1$ после возведения в квадрат получаем $x+5 = (x-1)^2$, что раскрывается в квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.
• Уравнением более высокой степени, если в результате преобразований получаются многочлены третьей, четвертой или более высоких степеней.

Таким образом, решение иррационального уравнения практически всегда включает в себя переход к одному из видов рациональных уравнений.

Ответ: В ходе решения иррационального уравнения получают рациональные уравнения: линейные, квадратные или уравнения более высоких степеней.

2. Почему при решении иррационального уравнения уделяется внимание области допустимых значений переменной?

При решении иррационального уравнения необходимо уделять пристальное внимание области допустимых значений (ОДЗ) переменной по двум ключевым причинам:

1. Ограничения, вытекающие из определения корня. Арифметический корень четной степени (например, квадратный $\sqrt{a}$ или корень четвертой степени $\sqrt[4]{a}$) по определению существует только для неотрицательных подкоренных выражений ($a \ge 0$). Следовательно, для любого уравнения, содержащего корень четной степени, например $\sqrt{f(x)} = g(x)$, должно выполняться условие $f(x) \ge 0$. Значения переменной, нарушающие это условие, не могут являться решениями. Кроме того, значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно, поэтому и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $g(x) \ge 0$. Совокупность этих условий и формирует ОДЗ, сужая множество возможных решений.

2. Возможность появления посторонних корней. Основной метод решения иррациональных уравнений — возведение обеих частей в четную степень — не является равносильным преобразованием. Это означает, что новое уравнение может иметь корни, которые не являются корнями исходного уравнения. Уравнение $A^2 = B^2$ является следствием не только уравнения $A=B$, но и уравнения $A=-B$. Поэтому после возведения в квадрат мы можем получить решения уравнения $A=-B$, которые будут посторонними для исходного уравнения $A=B$.

Рассмотрим классический пример: $\sqrt{x+7} = x-5$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -7 \\ x \ge 5 \end{cases} \implies x \ge 5$.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x+7 = (x-5)^2$

$x+7 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Теперь сопоставим найденные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 5$. Проведем проверку подстановкой $x=9$ в исходное уравнение: $\sqrt{9+7} = 9-5 \implies \sqrt{16} = 4 \implies 4 = 4$. Равенство верное.

Таким образом, нахождение ОДЗ является важным шагом, который помогает отсеять посторонние корни, не прибегая к обязательной проверке каждого из них подстановкой в исходное уравнение.

Ответ: Внимание области допустимых значений уделяется для того, чтобы, во-первых, исключить значения переменной, при которых выражения в уравнении теряют математический смысл (например, отрицательное число под корнем четной степени), и, во-вторых, чтобы отсеять посторонние корни, которые могут появиться в результате неравносильных преобразований, таких как возведение обеих частей уравнения в четную степень.