Номер 12, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. Вычислите $\int_{0}^{64} \left( -\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx:$

A) 578;

B) 576;

C) 656;

D) 568.

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} $. Для этого применим правило интегрирования степенной функции $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ к каждому слагаемому.

$ F(x) = \int \left( \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx = \int \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} \,dx + \int \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \,dx $

$ F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} $

Упростим выражение:

$ F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} $

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 0 до 64:

$ \int_{0}^{64} \left( \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx = \left[ \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{64} $

Вычислим значение выражения при верхнем пределе $ x = 64 $:

$ F(64) = \frac{9}{16}(64)^{\frac{4}{3}} + (64)^{\frac{3}{2}} $

Для вычисления степеней, вспомним, что $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $.

$ (64)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256 $

$ (64)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{64})^3 = 8^3 = 512 $

Подставим полученные значения:

$ F(64) = \frac{9}{16} \cdot 256 + 512 = 9 \cdot 16 + 512 = 144 + 512 = 656 $

Вычислим значение выражения при нижнем пределе $ x = 0 $:

$ F(0) = \frac{9}{16}(0)^{\frac{4}{3}} + (0)^{\frac{3}{2}} = 0 + 0 = 0 $

Найдем разность $ F(64) - F(0) $:

$ 656 - 0 = 656 $

Таким образом, значение интеграла равно 656. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: 656.