Номер 9, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$:

A) на промежутке $[0; 4]$ возрастает, на промежутке $[4; +\infty)$ убывает;

B) на промежутке $(-\infty; 4)$ возрастает, на промежутке $(4; +\infty)$ убывает;

C) на промежутке $[0; 4]$ убывает, на промежутке $[4; +\infty)$ возрастает;

D) на промежутке $(-\infty; 4)$ убывает, на промежутке $(4; +\infty)$ возрастает.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти её производную и определить знаки производной на области определения.

Дана функция: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

1. Найдём область определения функции.

Выражение $x^{\frac{3}{2}}$ эквивалентно $\sqrt{x^3}$. Для того чтобы корень был определён в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности:

$y' = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Найдём критические точки функции.

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 2$ определена на всей области определения исходной функции $[0; +\infty)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 4$.

Критическая точка $x = 4$ принадлежит области определения. Эта точка разбивает область определения $[0; +\infty)$ на два промежутка: $[0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Определим знаки производной на полученных промежутках.

Если производная $y'(x) > 0$ на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Для промежутка $[0; 4)$ выберем пробную точку, например, $x = 1$.

$y'(1) = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Так как $y'(1) < 0$, производная на этом промежутке отрицательна, следовательно, функция $y(x)$ убывает на промежутке $[0; 4]$.

Для промежутка $(4; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x = 9$.

$y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$.

Так как $y'(9) > 0$, производная на этом промежутке положительна, следовательно, функция $y(x)$ возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

Вывод: функция убывает на промежутке $[0; 4]$ и возрастает на промежутке $[4; +\infty)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант C.

Ответ: C) на промежутке $[0; 4]$ убывает, на промежутке $[4; +\infty)$ возрастает.