Номер 2, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Упростите выражение $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{6}}} $ и найдите значение при $x = 0,008$:

A) $ \frac{3}{2} $;

B) $ \frac{1}{6} $;

C) $ \frac{2}{3} $;

D) $ \frac{3}{4} $.

Для решения задачи сначала упростим данное выражение, а затем подставим в него указанное значение переменной $x$.

1. Упрощение выражения

Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{6}}}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{6}}}$.

Для упрощения дроби вынесем за скобки общий множитель в числителе и знаменателе. Общим множителем является степень $x$ с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{6}$. Приведя к общему знаменателю 6, получим $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Так как $\frac{3}{6} < \frac{5}{6}$, наименьший показатель — это $\frac{1}{2}$.

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки. Для этого воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Показатель $x^{\frac{5}{6}}$ можно представить как $x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$.

Преобразуем числитель: $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{5}{6}} = x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{3}})$.

Преобразуем знаменатель: $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{5}{6}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{3}})$.

Подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}(1 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{\frac{1}{3}})}$

Сократим дробь на общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{1 - x^{\frac{1}{3}}}{1 + x^{\frac{1}{3}}}$

2. Нахождение значения выражения

Теперь подставим значение $x = 0,008$ в упрощенное выражение $\frac{1 - x^{\frac{1}{3}}}{1 + x^{\frac{1}{3}}}$.

Сначала вычислим значение $x^{\frac{1}{3}}$:

$x^{\frac{1}{3}} = (0,008)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{0,008}$

Мы знаем, что $0,008 = \frac{8}{1000} = (\frac{2}{10})^3 = (0,2)^3$.

Следовательно, $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$.

Теперь подставим это значение в упрощенную дробь:

$\frac{1 - 0,2}{1 + 0,2} = \frac{0,8}{1,2}$

Чтобы упростить эту дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$\frac{0,8 \cdot 10}{1,2 \cdot 10} = \frac{8}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Таким образом, значение выражения при $x = 0,008$ равно $\frac{2}{3}$. Это соответствует варианту C).

Ответ: $\frac{2}{3}$.