Номер 7, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

в точке с абсциссой $x = \frac{1}{27}$:

A) $y = 27x + 5;$

B) $y = -27x + 5;$

C) $y = -27x + 4;$

D) $y = -9x + 5.$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Нахождение значения функции в точке касания

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = \frac{1}{27}$.

Вычислим значение функции в этой точке (ординату точки касания):

$f(x_0) = f\left(\frac{1}{27}\right) = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} + 1 = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} + 1 = 27^{\frac{1}{3}} + 1 = \sqrt[3]{27} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{27}; 4\right)$.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}} + 1)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} + 0 = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{27}$:

$f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{27}\right) = -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{\frac{4}{3}}) = -\frac{1}{3}(\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3}(3^4) = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27$.

Угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0) = -27$.

4. Составление уравнения касательной

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{27}$, $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = -27$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 4 + (-27)\left(x - \frac{1}{27}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 4 - 27x + 1$

$y = -27x + 5$

Полученное уравнение соответствует варианту B).

Ответ: B) $y = -27x + 5$.