Номер 8, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. Найдите точек экстремума функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$.

A) $x_{\text{min}} = 1;$

B) $x_{\text{min}} = 1; x_{\text{max}} = -1;$

C) нет точек экстремума;

D) $x_{\text{max}} = 1.$

Для нахождения точек экстремума функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$ необходимо исследовать ее на монотонность с помощью первой производной.

1. Нахождение области определения функции

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое равносильно $\sqrt{x^3}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Найдем первую производную функции $y$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 1 \cdot x^{1-1} = x^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{x} - 1$.

3. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 1$ существует на всей области определения функции, т.е. при $x \ge 0$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю (стационарные точки):

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x = 1$, которая принадлежит области определения функции.

4. Определение интервалов возрастания и убывания

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения $[0, +\infty)$ разбивается критической точкой $x = 1$. Это интервалы $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Для интервала $[0, 1)$ выберем пробную точку, например, $x=0.25$. Подставим ее в производную:

$y'(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5 < 0$.

Так как производная на этом интервале отрицательна, функция $y$ убывает.

Для интервала $(1, +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x=4$. Подставим ее в производную:

$y'(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.

Так как производная на этом интервале положительна, функция $y$ возрастает.

5. Определение точек экстремума

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, по первому достаточному условию экстремума, $x = 1$ является точкой локального минимума.

Также необходимо рассмотреть границу области определения $x=0$. Так как функция определена в этой точке, а справа от нее (на интервале $(0, 1)$) функция убывает, то $x=0$ является точкой локального максимума.

Таким образом, у функции две точки экстремума: $x_{max} = 0$ и $x_{min} = 1$.

Сравнивая полученные результаты с предложенными вариантами, мы видим, что вариант А) $x_{min} = 1$ является верным утверждением, хотя и неполным. Другие варианты содержат неверную информацию: в B) указана точка $x=-1$, не входящая в область определения; в C) утверждается отсутствие экстремумов; в D) точка $x=1$ неверно названа точкой максимума. Поэтому наиболее подходящим ответом из предложенных является A.

Ответ: A) $x_{min} = 1$;