Номер 10, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$:

A) 1; 0;

B) 32; 0;

C) 16; 32;

D) 32; 1.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Стандартный алгоритм включает нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции $y(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $y'(x) = 0$.

$\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 4]$, поэтому мы её не рассматриваем. Производная $y'(x)$ определена для всех $x \ge 0$, поэтому других критических точек на области определения нет.

3. Определим знак производной на отрезке $[1; 4]$.

Для любого $x$ из отрезка $[1; 4]$, значение $x$ положительно. Следовательно, $x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$ также будет положительным. Это означает, что производная $y'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$ всегда положительна на всём отрезке $[1; 4]$.

Так как производная функции положительна, функция $y(x)$ является монотонно возрастающей на этом отрезке. Это значит, что своё наименьшее значение она принимает в левой граничной точке отрезка, а наибольшее — в правой.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $[1; 4]$.

Наименьшее значение функции (в точке $x=1$):

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Наибольшее значение функции (в точке $x=4$):

$y_{наиб} = y(4) = 4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 32. Это соответствует варианту ответа D.

Ответ: Наибольшее значение 32, наименьшее значение 1.