Страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. Вычислите $f'(8)$, если $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 5$:

A) $-\frac{1}{3}$;

B) $6\frac{1}{3}$;

C) $\frac{16}{3}$;

D) $\frac{1}{3}$.

Для того чтобы вычислить $f'(8)$, необходимо сначала найти производную функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}} + 5$.

Производная функции находится с использованием правила дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и правила, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}} + 5)' = (x^{\frac{2}{3}})' + (5)'$

Применим правила:

$(x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$(5)' = 0$

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

Теперь подставим значение $x = 8$ в полученное выражение для производной:

$f'(8) = \frac{2}{3}(8)^{-\frac{1}{3}}$

Упростим выражение $8^{-\frac{1}{3}}$. Отрицательная степень означает обратное число, а степень $\frac{1}{3}$ означает кубический корень:

$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$

Подставим это значение обратно в формулу для $f'(8)$:

$f'(8) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

7. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

в точке с абсциссой $x = \frac{1}{27}$:

A) $y = 27x + 5;$

B) $y = -27x + 5;$

C) $y = -27x + 4;$

D) $y = -9x + 5.$

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Нахождение значения функции в точке касания

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}} + 1$ и абсцисса точки касания $x_0 = \frac{1}{27}$.

Вычислим значение функции в этой точке (ординату точки касания):

$f(x_0) = f\left(\frac{1}{27}\right) = \left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{1}{3}} + 1 = (27^{-1})^{-\frac{1}{3}} + 1 = 27^{\frac{1}{3}} + 1 = \sqrt[3]{27} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{27}; 4\right)$.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}} + 1)' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} + 0 = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{27}$:

$f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{27}\right) = -\frac{1}{3}\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(27^{\frac{4}{3}}) = -\frac{1}{3}(\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3}(3^4) = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27$.

Угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0) = -27$.

4. Составление уравнения касательной

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{27}$, $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = -27$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 4 + (-27)\left(x - \frac{1}{27}\right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 4 - 27x + 1$

$y = -27x + 5$

Полученное уравнение соответствует варианту B).

Ответ: B) $y = -27x + 5$.

8. Найдите точек экстремума функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$.

A) $x_{\text{min}} = 1;$

B) $x_{\text{min}} = 1; x_{\text{max}} = -1;$

C) нет точек экстремума;

D) $x_{\text{max}} = 1.$

Для нахождения точек экстремума функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$ необходимо исследовать ее на монотонность с помощью первой производной.

1. Нахождение области определения функции

Функция содержит выражение $x^{\frac{3}{2}}$, которое равносильно $\sqrt{x^3}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Найдем первую производную функции $y$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 1 \cdot x^{1-1} = x^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{x} - 1$.

3. Нахождение критических точек

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 1$ существует на всей области определения функции, т.е. при $x \ge 0$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю (стационарные точки):

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

$x = 1$

Мы получили одну критическую точку $x = 1$, которая принадлежит области определения функции.

4. Определение интервалов возрастания и убывания

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения $[0, +\infty)$ разбивается критической точкой $x = 1$. Это интервалы $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Для интервала $[0, 1)$ выберем пробную точку, например, $x=0.25$. Подставим ее в производную:

$y'(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5 < 0$.

Так как производная на этом интервале отрицательна, функция $y$ убывает.

Для интервала $(1, +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x=4$. Подставим ее в производную:

$y'(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$.

Так как производная на этом интервале положительна, функция $y$ возрастает.

5. Определение точек экстремума

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, по первому достаточному условию экстремума, $x = 1$ является точкой локального минимума.

Также необходимо рассмотреть границу области определения $x=0$. Так как функция определена в этой точке, а справа от нее (на интервале $(0, 1)$) функция убывает, то $x=0$ является точкой локального максимума.

Таким образом, у функции две точки экстремума: $x_{max} = 0$ и $x_{min} = 1$.

Сравнивая полученные результаты с предложенными вариантами, мы видим, что вариант А) $x_{min} = 1$ является верным утверждением, хотя и неполным. Другие варианты содержат неверную информацию: в B) указана точка $x=-1$, не входящая в область определения; в C) утверждается отсутствие экстремумов; в D) точка $x=1$ неверно названа точкой максимума. Поэтому наиболее подходящим ответом из предложенных является A.

Ответ: A) $x_{min} = 1$;

9. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$:

A) на промежутке $[0; 4]$ возрастает, на промежутке $[4; +\infty)$ убывает;

B) на промежутке $(-\infty; 4)$ возрастает, на промежутке $(4; +\infty)$ убывает;

C) на промежутке $[0; 4]$ убывает, на промежутке $[4; +\infty)$ возрастает;

D) на промежутке $(-\infty; 4)$ убывает, на промежутке $(4; +\infty)$ возрастает.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти её производную и определить знаки производной на области определения.

Дана функция: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

1. Найдём область определения функции.

Выражение $x^{\frac{3}{2}}$ эквивалентно $\sqrt{x^3}$. Для того чтобы корень был определён в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности:

$y' = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot 1 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Найдём критические точки функции.

Критические точки – это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = \sqrt{x} - 2$ определена на всей области определения исходной функции $[0; +\infty)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$y' = 0$

$\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 4$.

Критическая точка $x = 4$ принадлежит области определения. Эта точка разбивает область определения $[0; +\infty)$ на два промежутка: $[0; 4)$ и $(4; +\infty)$.

4. Определим знаки производной на полученных промежутках.

Если производная $y'(x) > 0$ на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Для промежутка $[0; 4)$ выберем пробную точку, например, $x = 1$.

$y'(1) = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$.

Так как $y'(1) < 0$, производная на этом промежутке отрицательна, следовательно, функция $y(x)$ убывает на промежутке $[0; 4]$.

Для промежутка $(4; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x = 9$.

$y'(9) = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1$.

Так как $y'(9) > 0$, производная на этом промежутке положительна, следовательно, функция $y(x)$ возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

Вывод: функция убывает на промежутке $[0; 4]$ и возрастает на промежутке $[4; +\infty)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант C.

Ответ: C) на промежутке $[0; 4]$ убывает, на промежутке $[4; +\infty)$ возрастает.

10. Вычислите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$:

A) 1; 0;

B) 32; 0;

C) 16; 32;

D) 32; 1.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо исследовать её поведение на этом отрезке. Стандартный алгоритм включает нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции $y(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{5}{2}}) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $y'(x) = 0$.

$\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 4]$, поэтому мы её не рассматриваем. Производная $y'(x)$ определена для всех $x \ge 0$, поэтому других критических точек на области определения нет.

3. Определим знак производной на отрезке $[1; 4]$.

Для любого $x$ из отрезка $[1; 4]$, значение $x$ положительно. Следовательно, $x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^3}$ также будет положительным. Это означает, что производная $y'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$ всегда положительна на всём отрезке $[1; 4]$.

Так как производная функции положительна, функция $y(x)$ является монотонно возрастающей на этом отрезке. Это значит, что своё наименьшее значение она принимает в левой граничной точке отрезка, а наибольшее — в правой.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $[1; 4]$.

Наименьшее значение функции (в точке $x=1$):

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Наибольшее значение функции (в точке $x=4$):

$y_{наиб} = y(4) = 4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 32. Это соответствует варианту ответа D.

Ответ: Наибольшее значение 32, наименьшее значение 1.

11. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 3$, $y = 0$:

A) $\frac{28}{81}$;

B) $\frac{26}{81}$;

C) $\frac{8}{27}$;

D) $\frac{29}{81}$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$, осью абсцисс $y = 0$, и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данной задаче фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^4}$, осью $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $y = \frac{1}{x^4}$ принимает неотрицательные значения. Следовательно, для нахождения площади нужно вычислить следующий определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \,dx$

Для вычисления интеграла сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$. Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \,dx = \left. \left( -\frac{1}{3x^3} \right) \right|_{1}^{3} = \left( -\frac{1}{3 \cdot 3^3} \right) - \left( -\frac{1}{3 \cdot 1^3} \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( -\frac{1}{3 \cdot 27} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{81} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$S = -\frac{1}{81} + \frac{1 \cdot 27}{3 \cdot 27} = -\frac{1}{81} + \frac{27}{81} = \frac{27 - 1}{81} = \frac{26}{81}$

Полученный результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: $\frac{26}{81}$

12. Вычислите $\int_{0}^{64} \left( -\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx:$

A) 578;

B) 576;

C) 656;

D) 568.

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} $. Для этого применим правило интегрирования степенной функции $ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ к каждому слагаемому.

$ F(x) = \int \left( \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx = \int \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} \,dx + \int \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \,dx $

$ F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} $

Упростим выражение:

$ F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} $

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 0 до 64:

$ \int_{0}^{64} \left( \frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \right) dx = \left[ \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{64} $

Вычислим значение выражения при верхнем пределе $ x = 64 $:

$ F(64) = \frac{9}{16}(64)^{\frac{4}{3}} + (64)^{\frac{3}{2}} $

Для вычисления степеней, вспомним, что $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $.

$ (64)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256 $

$ (64)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{64})^3 = 8^3 = 512 $

Подставим полученные значения:

$ F(64) = \frac{9}{16} \cdot 256 + 512 = 9 \cdot 16 + 512 = 144 + 512 = 656 $

Вычислим значение выражения при нижнем пределе $ x = 0 $:

$ F(0) = \frac{9}{16}(0)^{\frac{4}{3}} + (0)^{\frac{3}{2}} = 0 + 0 = 0 $

Найдем разность $ F(64) - F(0) $:

$ 656 - 0 = 656 $

Таким образом, значение интеграла равно 656. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: 656.

13. Вычислите объем тела, полученного вращением графика функции $y = \frac{3}{\sqrt{10}} x^{\frac{1}{3}}$ вокруг оси $Ox$ от точки $x = 0$ до точки $x = 1$:

A) $\pi$;

B) $\frac{9}{10}\pi$;

C) $\frac{10}{9}\pi$;

D) $\frac{27}{50}\pi$.

Для вычисления объема тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, используется формула объема тела вращения (метод дисков):

$V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx$

В нашем случае задана функция $y = \frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}$ и отрезок интегрирования от $a=0$ до $b=1$.

1. Сначала найдем квадрат функции $y(x)$:

$[y(x)]^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{9}{10}x^{\frac{2}{3}}$

2. Теперь подставим это выражение в формулу для объема и вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{0}^{1} \frac{9}{10}x^{\frac{2}{3}} dx$

Вынесем постоянный множитель $\frac{9}{10}$ за знак интеграла:

$V = \frac{9\pi}{10} \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} dx$

3. Найдем первообразную для подынтегральной функции $x^{\frac{2}{3}}$, используя табличный интеграл $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$

4. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$V = \frac{9\pi}{10} \left[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} \right]_{0}^{1} = \frac{9\pi}{10} \left( \left(\frac{3}{5} \cdot 1^{\frac{5}{3}}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 0^{\frac{5}{3}}\right) \right)$

$V = \frac{9\pi}{10} \left( \frac{3}{5} \cdot 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 \right) = \frac{9\pi}{10} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27\pi}{50}$

Полученный результат соответствует варианту D).

Ответ: $D) \frac{27}{50}\pi$.