Страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.10. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $ \cos 3 \cdot (2x - 8) < 0; $

2) $ \sin^2 \cdot \cos 6 \cdot (x^2 - 9) < 0. $

1) Решим неравенство $cos3 \cdot (2x - 8) < 0$.

В данном неравенстве $cos3$ является постоянным множителем (константой), так как в этом выражении нет переменной $x$. Для решения неравенства необходимо определить знак этой константы.

Угол 3 дан в радианах. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$.

Сравним значение 3 с ключевыми значениями $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$

$\pi \approx 3.14159$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти.

Функция косинуса во второй четверти принимает отрицательные значения, следовательно, $cos3 < 0$.

Неравенство имеет вид: $(отрицательное \ число) \cdot (2x - 8) < 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель $(2x - 8)$ должен быть положительным.

Получаем простое линейное неравенство:

$2x - 8 > 0$

$2x > 8$

$x > 4$

Таким образом, решением неравенства является интервал от 4 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $sin^2 2 \cdot cos6 \cdot (x^2 - 9) < 0$.

В этом неравенстве множители $sin^2 2$ и $cos6$ являются константами. Определим их знаки.

1. Определим знак $sin^2 2$.

Угол 2 дан в радианах. Сравним его с $\pi \approx 3.14159$.

Так как $0 < 2 < \pi$, то $sin2 \neq 0$.

Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен, поэтому $sin^2 2 > 0$.

2. Определим знак $cos6$.

Угол 6 дан в радианах. Сравним его с ключевыми значениями $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.

$\frac{3\pi}{2} \approx 3 \cdot \frac{3.14159}{2} \approx 4.71$

$2\pi \approx 2 \cdot 3.14159 \approx 6.28$

Поскольку $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$, угол в 6 радиан находится в четвертой координатной четверти.

Функция косинуса в четвертой четверти принимает положительные значения, следовательно, $cos6 > 0$.

Таким образом, произведение двух положительных констант $sin^2 2 \cdot cos6$ также является положительной константой.

Исходное неравенство можно переписать в виде:

$(положительное \ число) \cdot (x^2 - 9) < 0$

Чтобы это произведение было отрицательным, множитель $(x^2 - 9)$ должен быть строго меньше нуля.

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) < 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Парабола $y = x^2 - 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-3 < x < 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

12.11. Методом понижения степени решите неравенство:

1) $\cos^2 x > 0.5$;

2) $\sin^2 x > 1$;

3) $\cos^2 x < 1$;

4) $\sin^2 2x < 1$.

1) Исходное неравенство: $cos^2x > 0,5$.

Для понижения степени используем формулу $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим формулу в неравенство:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} > 0,5$

Умножим обе части на 2:

$1 + cos(2x) > 1$

$cos(2x) > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ с учетом периодичности.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in Z$.

2) Исходное неравенство: $sin^2x > 1$.

Область значений функции синус: $[-1; 1]$. Следовательно, область значений функции $sin^2x$ есть $[0; 1]$.

Неравенство $sin^2x > 1$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.

Проверим это методом понижения степени. Используем формулу $sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - cos(2x)}{2} > 1$

$1 - cos(2x) > 2$

$-cos(2x) > 1$

$cos(2x) < -1$

Поскольку область значений функции косинус $[-1; 1]$, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Исходное неравенство: $cos^2x < 1$.

Для понижения степени используем формулу $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + cos(2x)}{2} < 1$

$1 + cos(2x) < 2$

$cos(2x) < 1$

Функция косинус всегда меньше или равна 1. Равенство $cos(2x) = 1$ достигается, когда аргумент $2x$ равен $2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(2x) < 1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(2x) = 1$.

$2x \neq 2\pi k$

$x \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \pi k$, $k \in Z$.

4) Исходное неравенство: $sin^2(2x) < 1$.

Для понижения степени используем формулу $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$sin^2(2x) = \frac{1 - cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - cos(4x)}{2}$.

Подставим в неравенство:

$\frac{1 - cos(4x)}{2} < 1$

$1 - cos(4x) < 2$

$-cos(4x) < 1$

$cos(4x) > -1$

Функция косинус всегда больше или равна -1. Равенство $cos(4x) = -1$ достигается, когда аргумент $4x$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(4x) > -1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(4x) = -1$.

$4x \neq \pi + 2\pi k$

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.