Страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. От чего зависят виды степенной функции?

2. В каких случаях степенная функция будет ограничена сверху, а в каких — снизу?

3. Почему в степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}}$ дробь $\frac{m}{n}$ должна быть несократимой?

1. От чего зависят виды степенной функции?

Виды степенной функции $y = x^p$ и, соответственно, свойства и форма её графика, целиком и полностью зависят от значения показателя степени $p$. Различные классы чисел, к которым принадлежит показатель $p$, определяют разные типы степенных функций.

Основные случаи:

1. Показатель $p$ — натуральное чётное число (например, $p=2, 4, 6, \dots$). Функция $y = x^{2k}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является чётной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример: $y=x^2$ (парабола).

2. Показатель $p$ — натуральное нечётное число (например, $p=1, 3, 5, \dots$). Функция $y = x^{2k-1}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является нечётной, её график симметричен относительно начала координат. Пример: $y=x^3$ (кубическая парабола).

3. Показатель $p$ — целое отрицательное чётное число (например, $p=-2, -4, \dots$). Функция $y = x^{-2k} = \frac{1}{x^{2k}}$ определена для всех $x \neq 0$, является чётной. Пример: $y=x^{-2}$.

4. Показатель $p$ — целое отрицательное нечётное число (например, $p=-1, -3, \dots$). Функция $y = x^{-(2k-1)} = \frac{1}{x^{2k-1}}$ определена для всех $x \neq 0$, является нечётной. Пример: $y=x^{-1}$ (гипербола).

5. Показатель $p$ — положительное дробное число.

• Если $p = \frac{m}{n}$ (несократимая дробь) и $0 < p < 1$, график функции выпуклый вверх.
• Если $p > 1$, график функции выпуклый вниз.
• Область определения зависит от знаменателя $n$: если $n$ — чётное, то $x \ge 0$; если $n$ — нечётное, то $x \in \mathbb{R}$.

6. Показатель $p$ — отрицательное дробное число. Функция определена для $x > 0$ (если знаменатель дроби чётный) или для $x \neq 0$ (если знаменатель нечётный). График представляет собой гиперболическую кривую.

7. Показатель $p$ — иррациональное число. Степенная функция $y = x^p$ определяется только для $x \ge 0$.

Ответ: Виды степенной функции зависят от показателя степени $p$: является ли он целым или дробным, положительным, отрицательным или нулём, а для целых и дробных показателей — также от его чётности или нечётности.

2. В каких случаях степенная функция будет ограничена сверху, а в каких — снизу?

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $c$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge c$. Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что $f(x) \le C$.

Ограничение снизу:

Степенная функция $y=x^p$ ограничена снизу, как правило, числом 0. Это происходит в следующих случаях:

1. Показатель $p$ — положительное чётное натуральное число ($p = 2, 4, \dots$). Например, для $y=x^2$ значения всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

2. Показатель $p$ — рациональная дробь $p=\frac{m}{n}$ (несократимая), у которой числитель $m$ — чётное число. В этом случае $y = x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m$, и поскольку $m$ — чётное, результат возведения в степень всегда неотрицателен. Например, $y = x^{2/3}$ или $y = x^{-4/5}$.

3. Показатель $p$ — любое действительное число, но область определения функции ограничена неотрицательными числами ($x \ge 0$). В этом случае при $p>0$ функция ограничена снизу нулём ($y \ge 0$), а при $p<0$ она также ограничена снизу нулём ($y > 0$).

Ограничение сверху:

На своей естественной области определения степенная функция $y=x^p$ с ненулевым показателем, как правило, не ограничена сверху. Её значения либо уходят в бесконечность при $x \to \infty$ (если $p>0$), либо при $x \to 0$ (если $p<0$).

Единственный случай, когда степенная функция ограничена сверху (и снизу) на всей своей области определения — это тривиальный случай, когда показатель $p=0$. Тогда функция принимает вид $y = x^0 = 1$ для всех $x \neq 0$. Эта функция ограничена сверху (например, числом 1) и снизу (числом 1).

Ответ: Степенная функция $y=x^p$ ограничена снизу, если её значения всегда неотрицательны, что бывает при чётном положительном показателе ($p=2k$) или при дробном показателе $p=m/n$ с чётным числителем $m$. Ограниченной сверху на своей естественной области определения степенная функция является только в случае $p=0$.

3. Почему в степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}}$ дробь $\frac{m}{n}$ должна быть несократимой?

Требование несократимости дроби $\frac{m}{n}$ в определении степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$ необходимо для того, чтобы функция была определена однозначно. Если не придерживаться этого правила, то для одного и того же рационального показателя можно получить разные функции.

Рассмотрим пример. Пусть показатель степени равен $p = \frac{1}{3}$. Это несократимая дробь. Функция $y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Например, при $x=-8$ получаем $y = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Теперь возьмём сократимую дробь, равную $\frac{1}{3}$, например, $\frac{2}{6}$. Если мы будем определять функцию как $y = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$, то получим другой результат. Эта функция также определена для всех $x \in \mathbb{R}$, поскольку $x^2$ всегда неотрицательно. Однако при $x=-8$ мы получим: $y = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Таким образом, мы получили две разные функции: $f(x) = x^{1/3}$ и $g(x) = x^{2/6} = \sqrt{|x|}$. Для $x<0$ их значения не совпадают (и даже имеют разные знаки). Чтобы избежать этой неоднозначности, в математике принято соглашение (конвенция): при определении степенной функции с рациональным показателем $p$ его всегда представляют в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$.

Ответ: Дробь в показателе степени должна быть несократимой для того, чтобы обеспечить однозначность определения степенной функции. Использование сократимых дробей может привести к получению разных функций для одного и того же значения показателя, особенно при работе с отрицательными основаниями.

12.1. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^5$;

2) $f(x) = x^{-7}$;

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}};

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}};

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}};

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}};

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}};

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}};

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}.$

1) $f(x) = x^5$

Данная функция является степенной функцией с натуральным показателем степени ($p=5$). Такие функции определены для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{-7}$

Данная функция является степенной функцией с целым отрицательным показателем степени ($p=-7$). Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^7}$. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{1}{5}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[5]{x}$. Так как знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом, корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{9}{10}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[10]{x^9}$. Так как знаменатель показателя степени (10) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, $x^9 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{4}{7}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$. Так как знаменатель показателя степени (7) является нечетным числом, функция определена для всех действительных чисел (поскольку $x^4$ всегда неотрицательно, и корень нечетной степени из неотрицательного числа всегда существует).

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}}$

Данная функция является степенной функцией с дробно-рациональным показателем $p = \frac{11}{13}$. Её можно представить в виде $f(x) = \sqrt[13]{x^{11}}$. Так как знаменатель показателя степени (13) является нечетным числом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Здесь два ограничения:

1. Знаменатель показателя степени (4) — четное число, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x^3} \ne 0$, что означает $x \ne 0$.

Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем $x > 0$.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{2}{3}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

1. Знаменатель показателя степени (3) — нечетное число, поэтому корень $\sqrt[3]{x^2}$ определен для любого $x$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[3]{x^2} \ne 0$, что означает $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}$

Данная функция является степенной функцией с отрицательным дробно-рациональным показателем $p = -\frac{5}{7}$. Её можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$.

1. Знаменатель показателя степени (7) — нечетное число, поэтому корень $\sqrt[7]{x^5}$ определен для любого $x$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[7]{x^5} \ne 0$, что означает $x^5 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

12.2. Исследуйте на четность и нечетность функцию $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{11}$;

2) $f(x) = x^{\frac{1}{9}}$;

3) $f(x) = x^{-8}$;

4) $f(x) = x^{\frac{11}{12}}$;

5) $f(x) = x^{\frac{12}{13}}$;

6) $f(x) = x^{\frac{15}{17}}$;

7) $f(x) = x^{-\frac{7}{10}}$;

8) $f(x) = x^{-\frac{8}{13}}$;

9) $f(x) = x^{-\frac{11}{13}}$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность или нечетность необходимо выполнить два шага:

1. Определить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно точки $x=0$. Если для любого $x$ из области определения $-x$ также принадлежит области определения, то она симметрична. Если область определения несимметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Если область определения симметрична, необходимо проверить выполнение равенств:

• $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
• $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Для степенной функции $f(x) = x^p$, где показатель $p$ представлен в виде несократимой дроби $m/n$ ($p = m/n$):

• Если знаменатель $n$ — четное число, то область определения функции ($x \ge 0$ или $x > 0$) несимметрична, и функция является ни четной, ни нечетной.
• Если знаменатель $n$ — нечетное число, то область определения симметрична. Четность функции зависит от числителя $m$:
• Если $m$ — четное число, функция четная.
• Если $m$ — нечетное число, функция нечетная.

Применим эти правила к каждой из заданных функций.

1) $f(x) = x^{11}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Показатель степени $p=11$ — целое нечетное число. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{11} = -x^{11} = -f(x)$.

Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) $f(x) = x^{\frac{1}{9}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[9]{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Показатель степени $p = 1/9$, дробь несократима, знаменатель $n=9$ (нечетный), числитель $m=1$ (нечетный). Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{-x} = -\sqrt[9]{x} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $f(x) = x^{-8}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^8}$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Показатель степени $p=-8$ — целое четное число. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-8} = \frac{1}{(-x)^8} = \frac{1}{x^8} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $f(x) = x^{\frac{11}{12}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[12]{x^{11}}$. Показатель степени $p = 11/12$, знаменатель $n=12$ — четное число. Область определения функции — $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

5) $f(x) = x^{\frac{12}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[13]{x^{12}}$. Показатель степени $p=12/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=12$ — четный. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{12}{13}} = \sqrt[13]{(-x)^{12}} = \sqrt[13]{x^{12}} = f(x)$.

Функция является четной.

Ответ: четная.

6) $f(x) = x^{\frac{15}{17}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[17]{x^{15}}$. Показатель степени $p=15/17$, знаменатель $n=17$ — нечетный, числитель $m=15$ — нечетный. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{15}{17}} = \sqrt[17]{(-x)^{15}} = \sqrt[17]{-x^{15}} = -\sqrt[17]{x^{15}} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

7) $f(x) = x^{-\frac{7}{10}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[10]{x^7}}$. Показатель степени $p = -7/10$, знаменатель $n=10$ — четное число. Область определения функции — $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

8) $f(x) = x^{-\frac{8}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}}$. Показатель степени $p=-8/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=-8$ — четный. Область определения $x^8 \neq 0 \implies x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-\frac{8}{13}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{13}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{(-x)^8}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}} = f(x)$.

Функция является четной.

Ответ: четная.

9) $f(x) = x^{-\frac{11}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[13]{x^{11}}}$. Показатель степени $p=-11/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=-11$ — нечетный. Область определения $x^{11} \neq 0 \implies x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-\frac{11}{13}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{11}{13}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{(-x)^{11}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{-x^{11}}} = \frac{1}{-\sqrt[13]{x^{11}}} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

12.3. Определите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^3$;

2) $f(x) = x^{-4}$;

3) $f(x) = x^{\frac{1}{7}};

4) $f(x) = (1+x)^{\frac{7}{10}};

5) $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2;

6) $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1;

7) $f(x) = (3-x)^{-\frac{5}{6}};

8) $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}};

9) $f(x) = (x+2)^{-\frac{3}{5}}.

1) Дана функция $f(x) = x^3$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 = 0 \implies x = 0$.

Точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом интервале:

При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f(-1) = (-1)^3 = -1 < 0$.

При $x > 0$ (например, $x=1$), $f(1) = 1^3 = 1 > 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-4}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^4}$.

Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Функция не имеет нулей, так как уравнение $\frac{1}{x^4} = 0$ не имеет решений.

Для любого $x$ из области определения, $x^4$ является положительным числом, так как показатель степени 4 — четное число.

Следовательно, $f(x) = \frac{1}{x^4}$ всегда положительна на всей своей области определения.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Область определения: корень нечетной степени (7) определен для любого действительного числа $x$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $x^{\frac{1}{7}} = 0 \implies x = 0$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x$.

Следовательно, $f(x) > 0$ при $x > 0$, и $f(x) < 0$ при $x < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

4) Дана функция $f(x) = (1 + x)^{\frac{7}{9}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$.

Область определения: корень нечетной степени (9) определен для любого действительного значения выражения в основании. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $(1 + x)^{\frac{7}{9}} = 0 \implies 1+x = 0 \implies x = -1$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$ совпадает со знаком выражения $(1+x)^7$, который, в свою очередь, совпадает со знаком $1+x$.

Если $1+x > 0$, т.е. $x > -1$, то $f(x) > 0$.

Если $1+x < 0$, т.е. $x < -1$, то $f(x) < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-1; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -1)$.

5) Дана функция $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[8]{x^5} + 2$.

Область определения: для степенной функции с дробным показателем, знаменатель которого четный (8), основание должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения $x \ge 0$, следовательно, $x^{\frac{5}{8}} = \sqrt[8]{x^5} \ge 0$.

Тогда $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Функция всегда положительна на своей области определения.

Ответ: функция положительна при $x \in [0; +\infty)$.

6) Дана функция $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \sqrt[5]{x^6} - 1$.

Область определения: корень нечетной степени (5) определен для любого действительного числа. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции: $x^{\frac{6}{5}} - 1 = 0 \implies x^{\frac{6}{5}} = 1$. Это уравнение равносильно $x^6 = 1^5 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

Нули функции $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-2$), $f(-2) = (-2)^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{64} - 1 > 0$.

При $x \in (-1; 1)$ (например, $x=0$), $f(0) = 0^{\frac{6}{5}} - 1 = -1 < 0$.

При $x \in (1; +\infty)$ (например, $x=2$), $f(2) = 2^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{64} - 1 > 0$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, отрицательна на промежутке $(-1; 1)$.

7) Дана функция $f(x) = (3 - x)^{-\frac{5}{6}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{(3 - x)^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{(3-x)^5}}$.

Область определения: основание степени $3-x$ должно быть строго положительным, так как показатель степени $\frac{5}{6}$ имеет четный знаменатель, а отрицательный показатель степени перемещает выражение в знаменатель. Итак, $3-x > 0 \implies x < 3$. $D(f) = (-\infty; 3)$.

На всей области определения $3-x > 0$, поэтому $(3-x)^5 > 0$ и $\sqrt[6]{(3-x)^5} > 0$.

Следовательно, функция $f(x)$, равная 1, деленному на положительное число, всегда положительна.

Ответ: функция положительна при $x \in (-\infty; 3)$.

8) Дана функция $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.

Область определения: из-за отрицательного показателя степени $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции: $1 - x^{-\frac{4}{7}} = 0 \implies x^{-\frac{4}{7}} = 1 \implies x^{\frac{4}{7}} = 1$. Это уравнение равносильно $x^4 = 1^7 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Нули $x=-1, x=1$ и точка разрыва $x=0$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

Рассмотрим знак $f(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$. Выражение $x^4$ всегда положительно при $x\neq 0$.

Если $|x| > 1$, то $x^4 > 1$, $\sqrt[7]{x^4} > 1$, и $\frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} < 1$. Тогда $f(x) > 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Если $0 < |x| < 1$, то $0 < x^4 < 1$, $0 < \sqrt[7]{x^4} < 1$, и $\frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} > 1$. Тогда $f(x) < 0$. Это происходит на интервалах $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

Ответ: функция положительна на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, отрицательна на промежутках $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

9) Дана функция $f(x) = (x + 2)^{-\frac{3}{5}}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{(x+2)^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+2)^3}}$.

Область определения: из-за отрицательного показателя степени основание не может быть равно нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Функция не имеет нулей. Знак функции определяется знаком знаменателя $\sqrt[5]{(x+2)^3}$, который совпадает со знаком выражения $x+2$.

Если $x+2 > 0$, т.е. $x > -2$, то знаменатель положителен и $f(x) > 0$.

Если $x+2 < 0$, т.е. $x < -2$, то знаменатель отрицателен и $f(x) < 0$.

Ответ: функция положительна при $x \in (-2; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty; -2)$.