Страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему в формулах $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ и $\int x^\beta dx = \frac{x^{\beta + 1}}{\beta + 1} + C$, если $\alpha$ и $\beta$ рациональные числа, причем $\alpha = \frac{m}{n}$ или $\beta = \frac{m}{n}$, то дробь $\frac{m}{n}$ обязательно должна быть несократимой?

2. Какие свойства степени были применены в примерах 1–4?

1. Почему в формулах $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}$ и $\int x^\beta dx = \frac{x^{\beta+1}}{\beta+1} + C$, если $\alpha$ и $\beta$ рациональные числа, причем $\alpha = \frac{m}{n}$ или $\beta = \frac{m}{n}$, то дробь $\frac{m}{n}$ обязательно должна быть несократимой?

Требование несократимости дроби $\frac{m}{n}$ в показателе степени связано с определением самой степенной функции $y = x^{m/n}$, в частности, с ее областью определения, когда основание $x$ может быть отрицательным.

По определению, степенная функция с рациональным показателем задается формулой $x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$. Если мы рассматриваем эту функцию только для $x > 0$, то проблемы с неоднозначностью не возникает. Любая сократимая дробь даст тот же результат, что и несократимая. Например, при $x > 0$, $x^{1/2} = \sqrt{x}$ и $x^{2/4} = \sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}$ — это одна и та же функция.

Однако, если мы хотим расширить область определения на отрицательные значения $x$ (когда это возможно), возникает неоднозначность. Рассмотрим показательное рациональное число $\frac{1}{3}$.

1. Если мы используем несократимую дробь $\frac{1}{3}$, то функция имеет вид $f(x) = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$. Эта функция определена для всех действительных чисел, $x \in \mathbb{R}$. Например, при $x = -8$ получаем $f(-8) = \sqrt[3]{-8} = -2$.

2. Если мы возьмем равную ей, но сократимую дробь $\frac{2}{6}$, то функция будет выглядеть как $g(x) = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$. Эта функция также определена для всех $x \in \mathbb{R}$, поскольку $x^2$ всегда неотрицательно. Однако, $\sqrt[6]{x^2}$ тождественно равно $\sqrt[3]{|x|}$. При $x = -8$ получаем $g(-8) = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Как видно из примера, $f(x) \neq g(x)$ для отрицательных $x$. Таким образом, одно и то же рациональное число, записанное разными дробями, может определять разные функции. Чтобы избежать этой неоднозначности, в математике принято соглашение (конвенция): при определении степенной функции $x^r$ с рациональным показателем $r$, этот показатель всегда представляют в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$.

Это соглашение обеспечивает однозначность определения функции $x^r$. Следовательно, формулы дифференцирования и интегрирования применяются именно к этой, однозначно определенной, функции. Требование несократимости является необходимым условием для корректности самого объекта исследования — степенной функции, а значит, и для применения к ней операций математического анализа.

Ответ: Требование несократимости дроби в показателе степени необходимо для однозначного определения функции $x^r$ (где $r$ - рациональное число) в случае, когда основание $x$ может принимать отрицательные значения. Разные, но равные по значению дроби (например, $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$) могут приводить к разным функциям ($\sqrt[3]{x}$ и $\sqrt[6]{x^2}$), если основание отрицательно. Условие несократимости устраняет эту неоднозначность, что является необходимым условием для корректного применения формул дифференцирования и интегрирования.

2. Какие свойства степени были применены в примерах 1—4?

Для ответа на данный вопрос необходимо ознакомиться с содержанием примеров 1–4, которые не представлены на изображении. Без этих примеров невозможно точно определить, какие именно свойства степени были использованы.

В общем случае, при решении задач с преобразованием степенных выражений чаще всего применяются следующие свойства степени (для допустимых значений $a, b, m, n$):

• Свойство произведения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

• Свойство частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

• Свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$

• Свойство степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$

• Свойство степени частного (дроби): $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

• Определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$)

• Определение степени с рациональным показателем: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Ответ: Невозможно дать точный ответ, так как в условии задачи отсутствуют сами примеры 1–4.

13.1. Найдите производные функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^9$;

2) $f(x) = x^{-1}$;

3) $f(x) = \frac{1}{7}x^7$;

4) $f(x) = x^{-\frac{11}{6}}$.

Для нахождения производных всех представленных функций используется общая формула производной степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

1) Дана функция $f(x) = x^9$.

В этом случае показатель степени $n = 9$. Применяем формулу производной степенной функции:

$f'(x) = (x^9)' = 9 \cdot x^{9-1} = 9x^8$.

Ответ: $f'(x) = 9x^8$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-1}$.

Здесь показатель степени $n = -1$. Применяем ту же формулу:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2}$.

Результат можно также представить в виде дроби: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -x^{-2}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{7}x^7$.

Для нахождения производной используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$ и формулу производной степенной функции. Здесь $c = \frac{1}{7}$ и $u(x) = x^7$.

$f'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)'$.

Находим производную от $x^7$, где $n = 7$:

$(x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$.

Подставляем обратно:

$f'(x) = \frac{1}{7} \cdot 7x^6 = x^6$.

Ответ: $f'(x) = x^6$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{11}{6}}$.

Показатель степени здесь $n = -\frac{11}{6}$. Применяем формулу производной степенной функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{11}{6}})' = -\frac{11}{6} \cdot x^{-\frac{11}{6}-1}$.

Вычислим новый показатель степени:

$-\frac{11}{6} - 1 = -\frac{11}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{17}{6}$.

Следовательно, производная равна:

$f'(x) = -\frac{11}{6}x^{-\frac{17}{6}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{11}{6}x^{-\frac{17}{6}}$.

13.2. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x = 1$:

1) $f(x) = 2x^4$;

2) $f(x) = x^{-3}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^{-9}}$;

4) $f(x) = x^{-2.5}$.

1) Для функции $f(x) = 2x^4$ найдем ее производную. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производная функции: $f'(x) = (2x^4)' = 2 \cdot (x^4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = 8 \cdot (1)^3 = 8 \cdot 1 = 8$.

Ответ: 8

2) Для функции $f(x) = x^{-3}$ найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = -3 \cdot (1)^{-4} = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^{-3}}$ сначала упростим выражение. Согласно свойству степени, $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, поэтому $f(x) = x^3$.

Теперь найдем производную для $f(x) = x^3$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Найдем значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = 3 \cdot (1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3

4) Для функции $f(x) = x^{-2.5}$ найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции: $f'(x) = (x^{-2.5})' = -2.5x^{-2.5-1} = -2.5x^{-3.5}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x = 1$:

$f'(1) = -2.5 \cdot (1)^{-3.5} = -2.5 \cdot 1 = -2.5$.

Ответ: -2.5