Страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.4. Определите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 1 + x^7$;

2) $f(x) = 2 - x^{-10}$;

3) $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}}$;

4) $f(x) = 4 - x^{16}$;

5) $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}}$;

6) $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}}$;

7) $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}}$;

8) $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}}$;

9) $f(x) = (-x + 0,5)^{-\frac{11}{17}}$.

1)Для функции $f(x) = 1 + x^7$ область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции: $f'(x) = (1 + x^7)' = 7x^6$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то производная $f'(x) = 7x^6 \ge 0$ на всей области определения, причём равенство нулю достигается только в одной точке $x=0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей числовой прямой. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ:возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

2)Для функции $f(x) = 2 - x^{-10}$, или $f(x) = 2 - \frac{1}{x^{10}}$, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (2 - x^{-10})' = -(-10)x^{-11} = 10x^{-11} = \frac{10}{x^{11}}$. Знак производной зависит от знака $x^{11}$.

При $x > 0$, $x^{11} > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, и функция возрастает.

При $x < 0$, $x^{11} < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, и функция убывает.

Ответ:возрастает на $(0; +\infty)$, убывает на $(-\infty; 0)$.

3)Для функции $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}}$ (или $f(x) = 3 + \sqrt[9]{x}$) область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (3 + x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$. Так как $x^8 \ge 0$ для любого $x$, то знаменатель $9\sqrt[9]{x^8}$ положителен для всех $x \neq 0$. Таким образом, $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

4)Для функции $f(x) = 4 - x^{\frac{11}{16}}$ показатель степени имеет четный знаменатель, поэтому функция определена для $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (4 - x^{\frac{11}{16}})' = -\frac{11}{16}x^{\frac{11}{16}-1} = -\frac{11}{16}x^{-\frac{5}{16}} = -\frac{11}{16\sqrt[16]{x^5}}$. Для всех $x > 0$ в области определения, $\sqrt[16]{x^5} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$. Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ:убывает на $[0; +\infty)$.

5)Для функции $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}}$ показатель степени имеет нечетный знаменатель, поэтому функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (5 - x^{\frac{13}{15}})' = -\frac{13}{15}x^{\frac{13}{15}-1} = -\frac{13}{15}x^{-\frac{2}{15}} = -\frac{13}{15\sqrt[15]{x^2}}$. Знаменатель $15\sqrt[15]{x^2}$ положителен для всех $x \neq 0$. Таким образом, $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на всей области определения.

Ответ:убывает на $(-\infty; +\infty)$.

6)Для функции $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}}$ показатель степени имеет нечетный знаменатель (13), поэтому функция определена для всех $x$, при которых выражение $-x$ является действительным числом, то есть для всех $x \in \mathbb{R}$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, найдем производную: $f'(x) = \frac{11}{13}(-x)^{\frac{11}{13}-1} \cdot (-x)' = \frac{11}{13}(-x)^{-\frac{2}{13}} \cdot (-1) = -\frac{11}{13\sqrt[13]{(-x)^2}}$. Знаменатель $13\sqrt[13]{(-x)^2}$ положителен для всех $x \neq 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Функция непрерывна в точке $x=0$, значит, она убывает на всей числовой прямой.

Ответ:убывает на $(-\infty; +\infty)$.

7)Функция $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{7}{8}}}$. В знаменателе стоит степень с четным знаменателем (8), поэтому основание степени должно быть положительным: $-x > 0$, что означает $x < 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{7}{8}-1} \cdot (-x)' = -\frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} \cdot (-1) = \frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} = \frac{7}{8(-x)^{\frac{15}{8}}}$. Для всех $x < 0$, выражение $-x$ положительно, поэтому знаменатель $8(-x)^{\frac{15}{8}}$ положителен. Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0)$.

8)Функция $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{11}}}$. Показатель степени имеет нечетный знаменатель (11), поэтому функция определена для всех $x$, при которых основание не равно нулю: $-x \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{8}{11}-1} \cdot (-x)' = -\frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} \cdot (-1) = \frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} = \frac{8}{11(-x)^{\frac{19}{11}}}$.

При $x < 0$, выражение $-x > 0$, поэтому $(-x)^{\frac{19}{11}} > 0$ и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x > 0$, выражение $-x < 0$, поэтому $(-x)^{\frac{19}{11}} < 0$ и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.

9)Функция $f(x) = (-x + 0,5)^{-\frac{11}{17}} = \frac{1}{(-x+0,5)^{\frac{11}{17}}}$. Показатель степени имеет нечетный знаменатель (17), поэтому функция определена, когда основание не равно нулю: $-x + 0,5 \neq 0$, то есть $x \neq 0,5$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$. Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{11}{17})(-x+0,5)^{-\frac{11}{17}-1} \cdot (-x+0,5)' = -\frac{11}{17}(-x+0,5)^{-\frac{28}{17}} \cdot (-1) = \frac{11}{17}(-x+0,5)^{-\frac{28}{17}} = \frac{11}{17(-x+0,5)^{\frac{28}{17}}}$. Выражение в знаменателе $(-x+0,5)^{\frac{28}{17}} = (\sqrt[17]{-x+0,5})^{28}$ всегда положительно, так как возводится в четную степень (28). Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ:возрастает на $(-\infty; 0,5)$ и на $(0,5; +\infty)$.

12.5. Постройте схематически график функции $y = f(x)$ и найдите про-

межутки ее монотонности:

1) $f(x) = x^4 + 2;$

2) $f(x) = x^2 - 3;$

3) $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}};$

4) $f(x) = -1 + x^{\frac{1}{3}}.$

1) Функция $f(x) = x^4 + 2$.

Это степенная функция. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 = 0$

$x = 0$

Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

При $x < 0$, производная $f'(x) = 4x^3 < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

При $x > 0$, производная $f'(x) = 4x^3 > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Схематически график функции представляет собой параболу 4-й степени, симметричную относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0; 2)$ (точка минимума), ветви которой направлены вверх.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = x^5 - 3$.

Это степенная функция. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 3)' = 5x^4$.

Приравняем производную к нулю:

$5x^4 = 0$

$x = 0$

Производная $f'(x) = 5x^4 \ge 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $x^4$ всегда неотрицательно. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция не убывает на всей своей области определения. Поскольку функция непрерывна, она является возрастающей на всей числовой прямой.

Схематически график представляет собой кривую, похожую на кубическую параболу, смещенную на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. В точке $(0; -3)$ график имеет горизонтальную касательную (это точка перегиба).

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (1 - \sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная не обращается в ноль ни при каких значениях $x$. Она не определена в точке $x=0$, которая является концом области определения.

Определим знак производной на всей области определения $(0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} > 0$ для всех $x > 0$, то производная $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} < 0$ на всем интервале $(0; +\infty)$.

Следовательно, функция является убывающей на всей своей области определения.

Схематически график функции — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, отраженная относительно оси Ox и смещенная на 1 единицу вверх. График начинается в точке $(0; 1)$ и убывает, пересекая ось Ox в точке $(1; 0)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = -1 + x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} - 1$.

Область определения функции — все действительные числа, так как кубический корень определен для любого действительного числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt[3]{x} - 1)' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная не обращается в ноль ни при каких значениях $x$. Она не определена в точке $x=0$. Эта точка является критической.

Знаменатель производной $3\sqrt[3]{x^2}$ положителен для всех $x \ne 0$. Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$.

Так как производная положительна везде, кроме одной точки, где функция непрерывна, функция является возрастающей на всей области определения.

Схематически график — это график функции $y=\sqrt[3]{x}$, смещенный на 1 единицу вниз. В точке $(0; -1)$ график имеет вертикальную касательную, так как производная в этой точке стремится к бесконечности.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

12.6. Напишите не менее двух примеров четных и нечетных степенных функций:

1) с показателем, обратным натуральному числу;

2) с положительным дробным показателем;

3) с отрицательным дробным показателем.

Для определения четности или нечетности степенной функции $y = x^p$ необходимо, чтобы ее область определения была симметрична относительно нуля. Четность или нечетность зависит от того, как определена степенная функция с рациональным показателем $p = m/n$. Будем использовать определение $y = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$.

При таком определении функция $f(x) = \sqrt[n]{x^m}$ является:

• четной, если числитель $m$ — четное число. В этом случае $f(-x) = \sqrt[n]{(-x)^m} = \sqrt[n]{x^m} = f(x)$. Область определения будет симметричной.
• нечетной, если и числитель $m$, и знаменатель $n$ — нечетные числа. В этом случае $f(-x) = \sqrt[n]{(-x)^m} = \sqrt[n]{-x^m} = -\sqrt[n]{x^m} = -f(x)$. Область определения также симметрична.

Если в несократимой дроби $m/n$ знаменатель $n$ — четный, а числитель $m$ — нечетный, то область определения функции ($[0; +\infty)$) несимметрична, и функция не является ни четной, ни нечетной.

1) с показателем, обратным натуральному числу;

Показатель степени имеет вид $p = 1/k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Примеры четных функций:

Чтобы функция была четной, числитель показателя $m$ должен быть четным. Мы можем представить показатель $p=1/k$ в виде дроби с четным числителем, умножив числитель и знаменатель на 2: $p = 1/k = 2/(2k)$. Функция, заданная как $y = x^{2/(2k)} = \sqrt[2k]{x^2}$, будет четной.

1. Пусть $k=3$, показатель $p=1/3$. Представим его как $2/6$. Функция $y=x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$ является четной.

2. Пусть $k=5$, показатель $p=1/5$. Представим его как $2/10$. Функция $y=x^{2/10} = \sqrt[10]{x^2}$ является четной.

Примеры нечетных функций:

Чтобы функция была нечетной, числитель $m$ и знаменатель $n$ показателя $p=m/n$ должны быть нечетными. Для показателя $p=1/k$ имеем $m=1$ (нечетное). Значит, знаменатель $k$ также должен быть нечетным.

1. Пусть $k=3$, показатель $p=1/3$. Функция $y=x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$ является нечетной.

2. Пусть $k=7$, показатель $p=1/7$. Функция $y=x^{1/7} = \sqrt[7]{x}$ является нечетной.

Ответ: Примеры четных функций: $y=\sqrt[6]{x^2}$ (показатель $1/3$), $y=\sqrt[10]{x^2}$ (показатель $1/5$). Примеры нечетных функций: $y=x^{1/3}$, $y=x^{1/7}$.

2) с положительным дробным показателем;

Показатель степени $p = m/n$ — положительная дробь ($m, n \in \mathbb{N}$).

Примеры четных функций (числитель $m$ — четный):

1. $y = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

2. $y = x^{4/5} = \sqrt[5]{x^4}$.

Примеры нечетных функций (числитель $m$ и знаменатель $n$ — нечетные):

1. $y = x^{3/5} = \sqrt[5]{x^3}$.

2. $y = x^{7/9} = \sqrt[9]{x^7}$.

Ответ: Примеры четных функций: $y=x^{2/3}$, $y=x^{4/5}$. Примеры нечетных функций: $y=x^{3/5}$, $y=x^{7/9}$.

3) с отрицательным дробным показателем.

Показатель степени $p = -m/n$ — отрицательная дробь ($m, n \in \mathbb{N}$). Область определения в этом случае не включает $x=0$.

Примеры четных функций (числитель $m$ — четный):

1. $y = x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

2. $y = x^{-4/7} = \frac{1}{x^{4/7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.

Примеры нечетных функций (числитель $m$ и знаменатель $n$ — нечетные):

1. $y = x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

2. $y = x^{-5/7} = \frac{1}{x^{5/7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$.

Ответ: Примеры четных функций: $y=x^{-2/3}$, $y=x^{-4/7}$. Примеры нечетных функций: $y=x^{-1/3}$, $y=x^{-5/7}$.

12.7. Приведите примеры возрастающих степенных функций с дробными показателями для:

1) $x \in [0; +\infty)$;

2) $x \in (0; +\infty)$;

3) $x \in \mathbb{R}$.

1) $x \in [0; +\infty)$

Степенная функция имеет вид $y = x^p$. Чтобы функция была возрастающей, ее производная должна быть неотрицательной. Производная степенной функции: $y' = p \cdot x^{p-1}$.

На интервале $(0; +\infty)$ множитель $x^{p-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной зависит от знака показателя $p$. Для возрастания функции необходимо, чтобы $p > 0$.

Функция $y = x^p$ с $p>0$ определена на всем промежутке $[0; +\infty)$, включая точку $x=0$, где $y=0$.

Таким образом, в качестве примера можно взять любую степенную функцию с положительным дробным показателем. Например, $y = x^{1/2}$. Эта функция $y=\sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$ и ее производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x > 0$, значит, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{1/2}$.

2) $x \in (0; +\infty)$

Условия для этого случая практически совпадают с предыдущим. Мы ищем возрастающую функцию $y=x^p$ на интервале $(0; +\infty)$.

Производная $y' = p \cdot x^{p-1}$ должна быть положительна. Поскольку на данном интервале $x > 0$, то $x^{p-1} > 0$. Для того чтобы производная была положительной, необходимо и достаточно, чтобы показатель степени $p$ был положителен: $p > 0$.

Выберем любой положительный дробный показатель, например $p=3/4$. Функция $y=x^{3/4}$ имеет производную $y'=\frac{3}{4}x^{-1/4}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$, которая положительна для всех $x > 0$. Следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{3/4}$.

3) $x \in \mathbb{R}$

В этом случае функция $y = x^p$ должна быть определена и возрастать на всей числовой прямой.

Пусть показатель степени – это несократимая дробь $p = m/n$. Для того чтобы функция $y = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$ была определена для отрицательных значений $x$, знаменатель $n$ должен быть нечетным числом.

Далее, функция должна быть возрастающей, то есть ее производная $y' = p \cdot x^{p-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$ должна быть неотрицательной для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим выражение $x^{p-1} = x^{\frac{m-n}{n}} = \sqrt[n]{x^{m-n}}$. Поскольку $n$ — нечетное, знак этого выражения совпадает со знаком $x^{m-n}$. Чтобы производная не меняла знак при изменении знака $x$, выражение $x^{m-n}$ должно быть всегда неотрицательным. Это возможно только если показатель $m-n$ — четное число. Так как $n$ — нечетное, то и числитель $m$ должен быть нечетным.

Наконец, чтобы производная была неотрицательной, а не неположительной, сам показатель $p$ должен быть положительным. Итак, нам нужна функция $y = x^p$ с показателем $p=m/n$, где $p > 0$, а $m$ и $n$ — нечетные натуральные числа.

Возьмем, к примеру, $p=5/3$. Функция $y=x^{5/3}$ определена на всей числовой прямой. Ее производная $y'=\frac{5}{3}x^{2/3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Следовательно, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, и функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: $y = x^{5/3}$.

12.8. Приведите примеры убывающих степенных функций с дробными показателями для:

1) $x \in R$

2) $x \in [0; +\infty)$

3) $x \in (0; +\infty)$

Степенная функция имеет вид $y = x^a$, где $a$ — показатель степени. Функция является убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $x \in R$

Требуется привести пример степенной функции $y=x^a$ с дробным показателем $a$, которая убывает на всей числовой прямой $R$.

Во-первых, чтобы функция была определена для всех $x \in R$, включая точку $x=0$, ее показатель степени $a$ должен быть строго положительным ($a>0$). Если $a \le 0$, функция $y=x^a$ не определена в точке $x=0$, так как $x^0$ не определено для $x=0$ в общем случае, а при $a<0$ происходит деление на ноль.

Во-вторых, рассмотрим поведение функции с показателем $a>0$ на множестве положительных чисел. Возьмем две точки, например, $x_1=1$ и $x_2=2$. Так как $1 < 2$, для убывающей функции должно выполняться $f(1) > f(2)$.

Однако для функции $y=x^a$ с $a>0$ мы имеем: $f(1) = 1^a = 1$ и $f(2) = 2^a$. Поскольку $a>0$, то $2^a > 2^0 = 1$. Следовательно, $f(1) < f(2)$.

Это противоречит определению убывающей функции. Таким образом, степенная функция с положительным показателем не может убывать на $R$. А функция с неположительным показателем не определена на всем множестве $R$. Следовательно, привести требуемый пример невозможно.

Ответ: Степенной функции с дробным показателем, убывающей на всем множестве действительных чисел $R$, не существует.

2) $x \in [0; +\infty)$

Требуется привести пример функции $y=x^a$, убывающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Чтобы функция была определена в точке $x=0$, необходимо, чтобы показатель $a$ был положительным ($a>0$). Если $a=0$, функция $y=x^0=1$ является постоянной, а не убывающей. Если $a<0$, функция не определена в $x=0$.

Однако, как было показано в предыдущем пункте, для любого $a>0$ функция $y=x^a$ является возрастающей на промежутке $(0; +\infty)$, так как для $0 < x_1 < x_2$ будет $x_1^a < x_2^a$. Это противоречит требованию убывания.

Если же выбрать $a<0$ (чтобы функция убывала для $x>0$), то она не будет определена в точке $x=0$, и ее область определения будет $(0; +\infty)$, а не $[0; +\infty)$.

Ответ: Степенной функции с дробным показателем, убывающей на промежутке $[0; +\infty)$, не существует.

3) $x \in (0; +\infty)$

На промежутке $(0; +\infty)$ степенная функция $y=x^a$ определена для любого действительного показателя $a$.

Для нахождения условия убывания рассмотрим производную функции: $y' = (x^a)' = ax^{a-1}$.

На промежутке $(0; +\infty)$ множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной совпадает со знаком показателя $a$.

Функция будет убывающей, если ее производная $y' < 0$. Это условие выполняется при $a < 0$.

Таким образом, любая степенная функция с отрицательным дробным показателем будет убывающей на промежутке $(0; +\infty)$.

Приведем примеры:

1. Пусть $a = -1/2$. Функция $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Показатель $a = -1/2$ является дробным и отрицательным, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

2. Пусть $a = -5/3$. Функция $y = x^{-5/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^5}}$. Показатель $a = -5/3$ является дробным и отрицательным, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

Ответ: Например, $y = x^{-1/2}$ или $y = x^{-5/3}$.

12.9. Знаки $\sqrt{}$ и $\sqrt[n]{}$ последовательно стали применять французский математик Альберт Жирар, немецкий философ и математик Гольфрид Вильгельм Лейбниц. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел красивую формулу для определенного интеграла от функции $x^n$.

А. Жирар
(1595–1632)

И. Бернулли
(1667–1748)

Знаки √ и ∛

В утверждении говорится о последовательном применении знаков квадратного и кубического корня французским математиком Альбером Жираром и немецким математиком Готфридом Лейбницем. История этих символов действительно связана с именами нескольких ученых.

Первоначально знак квадратного корня, радикал (√), был введен в 1525 году немецким математиком Кристофом Рудольфом в его книге по алгебре «Die Coss». Этот символ представлял собой стилизованную первую букву латинского слова radix (корень).

Французский математик Альбер Жирар (1595–1632) внес значительный вклад в развитие этой нотации. В своем труде «Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en l'algèbre), опубликованном в 1629 году, он усовершенствовал символ радикала. Жирар был одним из первых, кто начал указывать показатель степени корня (3 для кубического, 4 для корня четвертой степени и т.д.) в «клюве» знака радикала. Так появились современные обозначения вида $ \sqrt[3]{a} $ и $ \sqrt[4]{a} $, которые пришли на смену громоздким словесным или буквенным конструкциям.

Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, не был изобретателем знака корня, но сыграл ключевую роль в его популяризации. Лейбниц придавал огромное значение удобной и однозначной символике. Благодаря его авторитету и активному использованию в своих работах и переписке, обозначения корней, предложенные Рудольфом и усовершенствованные Жираром (а также дополненные горизонтальной чертой-винкулумом над подкоренным выражением, введенной Рене Декартом), стали общепринятым стандартом в европейской математике. Таким образом, Лейбниц закрепил эту нотацию в математической практике.

Ответ: Альбер Жирар усовершенствовал знак корня, предложив указывать его степень в самом символе (например, $ \sqrt[3]{} $), а Готфрид Лейбниц, благодаря своему влиянию, способствовал окончательному утверждению этого обозначения в качестве международного стандарта.

Формула для определенного интеграла от функции $x^x$

В тексте упоминается, что швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748) вывел красивую формулу для определенного интеграла от функции $ f(x) = x^x $. Это утверждение относится к одному из самых известных и изящных результатов в истории математического анализа, который часто называют «Мечтой второкурсника» (Sophomore's Dream).

Дело в том, что первообразная функции $ x^x $, то есть неопределенный интеграл $ \int x^x dx $, не выражается через элементарные функции (такие как многочлены, логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции и их комбинации). Однако Иоганн Бернулли в 1697 году обнаружил, что определенный интеграл этой функции на отрезке от 0 до 1 можно выразить в виде элегантного бесконечного ряда.

Формула Бернулли выглядит следующим образом:$ \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} = \frac{1}{1^1} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - \frac{1}{4^4} + \dots $

Для вывода этой формулы Бернулли использовал метод разложения подынтегральной функции в степенной ряд и последующего почленного интегрирования. Краткая схема вывода такова:

1. Представим $ x^x $ в виде $ e^{x \ln x} $.

2. Разложим экспоненту в ряд Маклорена: $ e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} $. Подставив $ u = x \ln x $, получим: $ x^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!} $.

3. Проинтегрируем полученный ряд почленно от 0 до 1: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx $.

4. Используя известное значение интеграла $ \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx = \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}} $, подставим его в сумму.

5. После сокращения $ k! $ получаем: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}} $.

6. Сделав замену индекса $ n = k+1 $, приходим к окончательной формуле.

Этот результат является прекрасным примером связи между интегральным исчислением и теорией бесконечных рядов.

Ответ: Иоганн Бернулли доказал тождество, связывающее определенный интеграл от функции $ x^x $ на отрезке [0, 1] с суммой изящного знакочередующегося бесконечного ряда: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} $.