Номер 12.6, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.6. Напишите не менее двух примеров четных и нечетных степенных функций:

1) с показателем, обратным натуральному числу;

2) с положительным дробным показателем;

3) с отрицательным дробным показателем.

Для определения четности или нечетности степенной функции $y = x^p$ необходимо, чтобы ее область определения была симметрична относительно нуля. Четность или нечетность зависит от того, как определена степенная функция с рациональным показателем $p = m/n$. Будем использовать определение $y = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$.

При таком определении функция $f(x) = \sqrt[n]{x^m}$ является:

• четной, если числитель $m$ — четное число. В этом случае $f(-x) = \sqrt[n]{(-x)^m} = \sqrt[n]{x^m} = f(x)$. Область определения будет симметричной.
• нечетной, если и числитель $m$, и знаменатель $n$ — нечетные числа. В этом случае $f(-x) = \sqrt[n]{(-x)^m} = \sqrt[n]{-x^m} = -\sqrt[n]{x^m} = -f(x)$. Область определения также симметрична.

Если в несократимой дроби $m/n$ знаменатель $n$ — четный, а числитель $m$ — нечетный, то область определения функции ($[0; +\infty)$) несимметрична, и функция не является ни четной, ни нечетной.

1) с показателем, обратным натуральному числу;

Показатель степени имеет вид $p = 1/k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Примеры четных функций:

Чтобы функция была четной, числитель показателя $m$ должен быть четным. Мы можем представить показатель $p=1/k$ в виде дроби с четным числителем, умножив числитель и знаменатель на 2: $p = 1/k = 2/(2k)$. Функция, заданная как $y = x^{2/(2k)} = \sqrt[2k]{x^2}$, будет четной.

1. Пусть $k=3$, показатель $p=1/3$. Представим его как $2/6$. Функция $y=x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$ является четной.

2. Пусть $k=5$, показатель $p=1/5$. Представим его как $2/10$. Функция $y=x^{2/10} = \sqrt[10]{x^2}$ является четной.

Примеры нечетных функций:

Чтобы функция была нечетной, числитель $m$ и знаменатель $n$ показателя $p=m/n$ должны быть нечетными. Для показателя $p=1/k$ имеем $m=1$ (нечетное). Значит, знаменатель $k$ также должен быть нечетным.

1. Пусть $k=3$, показатель $p=1/3$. Функция $y=x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$ является нечетной.

2. Пусть $k=7$, показатель $p=1/7$. Функция $y=x^{1/7} = \sqrt[7]{x}$ является нечетной.

Ответ: Примеры четных функций: $y=\sqrt[6]{x^2}$ (показатель $1/3$), $y=\sqrt[10]{x^2}$ (показатель $1/5$). Примеры нечетных функций: $y=x^{1/3}$, $y=x^{1/7}$.

2) с положительным дробным показателем;

Показатель степени $p = m/n$ — положительная дробь ($m, n \in \mathbb{N}$).

Примеры четных функций (числитель $m$ — четный):

1. $y = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

2. $y = x^{4/5} = \sqrt[5]{x^4}$.

Примеры нечетных функций (числитель $m$ и знаменатель $n$ — нечетные):

1. $y = x^{3/5} = \sqrt[5]{x^3}$.

2. $y = x^{7/9} = \sqrt[9]{x^7}$.

Ответ: Примеры четных функций: $y=x^{2/3}$, $y=x^{4/5}$. Примеры нечетных функций: $y=x^{3/5}$, $y=x^{7/9}$.

3) с отрицательным дробным показателем.

Показатель степени $p = -m/n$ — отрицательная дробь ($m, n \in \mathbb{N}$). Область определения в этом случае не включает $x=0$.

Примеры четных функций (числитель $m$ — четный):

1. $y = x^{-2/3} = \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

2. $y = x^{-4/7} = \frac{1}{x^{4/7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.

Примеры нечетных функций (числитель $m$ и знаменатель $n$ — нечетные):

1. $y = x^{-1/3} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

2. $y = x^{-5/7} = \frac{1}{x^{5/7}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$.

Ответ: Примеры четных функций: $y=x^{-2/3}$, $y=x^{-4/7}$. Примеры нечетных функций: $y=x^{-1/3}$, $y=x^{-5/7}$.