Номер 12.9, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.9. Знаки $\sqrt{}$ и $\sqrt[n]{}$ последовательно стали применять французский математик Альберт Жирар, немецкий философ и математик Гольфрид Вильгельм Лейбниц. Швейцарский математик Иоганн Бернулли вывел красивую формулу для определенного интеграла от функции $x^n$.

А. Жирар
(1595–1632)

И. Бернулли
(1667–1748)

Знаки √ и ∛

В утверждении говорится о последовательном применении знаков квадратного и кубического корня французским математиком Альбером Жираром и немецким математиком Готфридом Лейбницем. История этих символов действительно связана с именами нескольких ученых.

Первоначально знак квадратного корня, радикал (√), был введен в 1525 году немецким математиком Кристофом Рудольфом в его книге по алгебре «Die Coss». Этот символ представлял собой стилизованную первую букву латинского слова radix (корень).

Французский математик Альбер Жирар (1595–1632) внес значительный вклад в развитие этой нотации. В своем труде «Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en l'algèbre), опубликованном в 1629 году, он усовершенствовал символ радикала. Жирар был одним из первых, кто начал указывать показатель степени корня (3 для кубического, 4 для корня четвертой степени и т.д.) в «клюве» знака радикала. Так появились современные обозначения вида $ \sqrt[3]{a} $ и $ \sqrt[4]{a} $, которые пришли на смену громоздким словесным или буквенным конструкциям.

Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), один из создателей дифференциального и интегрального исчисления, не был изобретателем знака корня, но сыграл ключевую роль в его популяризации. Лейбниц придавал огромное значение удобной и однозначной символике. Благодаря его авторитету и активному использованию в своих работах и переписке, обозначения корней, предложенные Рудольфом и усовершенствованные Жираром (а также дополненные горизонтальной чертой-винкулумом над подкоренным выражением, введенной Рене Декартом), стали общепринятым стандартом в европейской математике. Таким образом, Лейбниц закрепил эту нотацию в математической практике.

Ответ: Альбер Жирар усовершенствовал знак корня, предложив указывать его степень в самом символе (например, $ \sqrt[3]{} $), а Готфрид Лейбниц, благодаря своему влиянию, способствовал окончательному утверждению этого обозначения в качестве международного стандарта.

Формула для определенного интеграла от функции $x^x$

В тексте упоминается, что швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748) вывел красивую формулу для определенного интеграла от функции $ f(x) = x^x $. Это утверждение относится к одному из самых известных и изящных результатов в истории математического анализа, который часто называют «Мечтой второкурсника» (Sophomore's Dream).

Дело в том, что первообразная функции $ x^x $, то есть неопределенный интеграл $ \int x^x dx $, не выражается через элементарные функции (такие как многочлены, логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции и их комбинации). Однако Иоганн Бернулли в 1697 году обнаружил, что определенный интеграл этой функции на отрезке от 0 до 1 можно выразить в виде элегантного бесконечного ряда.

Формула Бернулли выглядит следующим образом:$ \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} = \frac{1}{1^1} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} - \frac{1}{4^4} + \dots $

Для вывода этой формулы Бернулли использовал метод разложения подынтегральной функции в степенной ряд и последующего почленного интегрирования. Краткая схема вывода такова:

1. Представим $ x^x $ в виде $ e^{x \ln x} $.

2. Разложим экспоненту в ряд Маклорена: $ e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} $. Подставив $ u = x \ln x $, получим: $ x^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x \ln x)^k}{k!} $.

3. Проинтегрируем полученный ряд почленно от 0 до 1: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx $.

4. Используя известное значение интеграла $ \int_0^1 x^k (\ln x)^k dx = \frac{(-1)^k k!}{(k+1)^{k+1}} $, подставим его в сумму.

5. После сокращения $ k! $ получаем: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^{k+1}} $.

6. Сделав замену индекса $ n = k+1 $, приходим к окончательной формуле.

Этот результат является прекрасным примером связи между интегральным исчислением и теорией бесконечных рядов.

Ответ: Иоганн Бернулли доказал тождество, связывающее определенный интеграл от функции $ x^x $ на отрезке [0, 1] с суммой изящного знакочередующегося бесконечного ряда: $ \int_0^1 x^x dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^n} $.