Номер 13.4, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.4. Вычислите производную функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 8$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 9$;

3) $f(x) = -\frac{3}{x^2}$, $x_0 = 6$;

4) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $x_0 = 1$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 8$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Запишем производную в виде с корнем для удобства вычислений: $f'(x) = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:

$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и точка $x_0 = 9$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-\frac{1}{2}}$.

Найдем производную по формуле для степенной функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

Запишем производную в виде дроби с корнем: $f'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = -\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2 \cdot (\sqrt{9})^3} = -\frac{1}{2 \cdot 3^3} = -\frac{1}{2 \cdot 27} = -\frac{1}{54}$.

Ответ: $-\frac{1}{54}$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{3}{x^2}$ и точка $x_0 = 6$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = -3x^{-2}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-3x^{-2})' = -3 \cdot (-2)x^{-2-1} = 6x^{-3}$.

Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = \frac{6}{x^3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 6$:

$f'(6) = \frac{6}{6^3} = \frac{6}{216}$.

Сократим дробь: $f'(6) = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1$.

Функция уже представлена в виде степени, поэтому сразу находим производную:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}} = -\frac{1}{3 \cdot 1} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.