Номер 13.5, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = x^{\frac{4}{5}}$, $x_0 = -1$.

1) Для составления уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ воспользуемся формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{-\frac{3}{4}} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{3}{4}})' = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -\frac{3}{4} \cdot 1^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-\frac{3}{4}$ и $x_0=1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-\frac{3}{4})(x - 1)$

$y = 1 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = x^{\frac{4}{5}}$ и точка $x_0 = -1$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-1) = (-1)^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^4 = (-1)^4 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{4}{5}(-1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{-1}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{4}{5}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-\frac{4}{5}$ и $x_0=-1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-\frac{4}{5})(x - (-1))$

$y = 1 - \frac{4}{5}(x + 1)$

$y = 1 - \frac{4}{5}x - \frac{4}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.

Ответ: $y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.