Номер 13.10, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.10. Докажите, что функция $F(x) = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{6} \cdot \cos \frac{x}{6}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{12} \cos \frac{x}{3}$.

13.10. Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Исходная функция $F(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{6} \cdot \cos\frac{x}{6}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к $F(x)$, где $\alpha = \frac{x}{6}$:

$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{6}\right)\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}$.

Теперь найдем производную от упрощенной функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)'$.

Производная от $\frac{x}{3}$ равна $\frac{1}{3}$, поэтому:

$F'(x) = \frac{1}{4}\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Сравним полученный результат с заданной функцией $f(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Это доказывает, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Так как производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$, что совпадает с функцией $f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.