Номер 13.17, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.17. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \frac{dx}{7 \cos^2 (3 - x)}$;

2) $\int \frac{\cos^2 x dx}{1 - \sin x}$.

1) Для решения интеграла $ \int \frac{dx}{7 \cos^2 (3-x)} $ сначала вынесем постоянный множитель $ \frac{1}{7} $ за знак интеграла:

$ \frac{1}{7} \int \frac{dx}{\cos^2 (3-x)} $

Далее применим метод замены переменной. Введем новую переменную $ t = 3-x $. Найдем ее дифференциал: $ dt = d(3-x) = (3-x)' dx = -1 \cdot dx = -dx $. Отсюда выразим $ dx = -dt $.

Подставим $ t $ и $ dt $ в интеграл:

$ \frac{1}{7} \int \frac{-dt}{\cos^2 t} = -\frac{1}{7} \int \frac{dt}{\cos^2 t} $

Получившийся интеграл является табличным: $ \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \tan t + C $.

Таким образом, получаем:

$ -\frac{1}{7} \tan t + C $

Выполним обратную замену, подставив вместо $ t $ выражение $ 3-x $:

$ -\frac{1}{7} \tan(3-x) + C $

Ответ: $ -\frac{1}{7} \tan(3-x) + C $.

2) Для нахождения интеграла $ \int \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} dx $ преобразуем подынтегральное выражение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Из него следует, что $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$ \int \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \sin x} dx $

Числитель $ 1 - \sin^2 x $ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x) $

Подставим разложение в интеграл и сократим дробь:

$ \int \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x} dx = \int (1 + \sin x) dx $

Теперь проинтегрируем полученную сумму. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$ \int 1 dx + \int \sin x dx $

Это табличные интегралы: $ \int 1 dx = x $ и $ \int \sin x dx = -\cos x $.

Сложив результаты и добавив произвольную постоянную $ C $, получим окончательное решение:

$ x - \cos x + C $

Ответ: $ x - \cos x + C $.