Номер 13.23, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.23. Найдите значение выражения $4x^2 + \frac{1}{4x^2}$, если:

1) $2x + \frac{1}{2x} = 3;$

2) $2x - \frac{1}{2x} = 5;$

3) $2x + \frac{1}{2x} = 2;$

4) $2x - \frac{1}{2x} = 4.$

1) Чтобы найти значение выражения $4x^2 + \frac{1}{4x^2}$, зная, что $2x + \frac{1}{2x} = 3$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Мы используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = \frac{1}{2x}$.

$(2x + \frac{1}{2x})^2 = 3^2$

$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{2x}) + (\frac{1}{2x})^2 = 9$

$4x^2 + 2 + \frac{1}{4x^2} = 9$

Теперь, чтобы найти значение искомого выражения, вычтем 2 из обеих частей равенства:

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 9 - 2$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 7$

Ответ: 7.

2) В данном случае нам известно, что $2x - \frac{1}{2x} = 5$. Чтобы найти значение выражения $4x^2 + \frac{1}{4x^2}$, снова возведем обе части данного равенства в квадрат, но на этот раз воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь так же $a = 2x$ и $b = \frac{1}{2x}$.

$(2x - \frac{1}{2x})^2 = 5^2$

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{2x}) + (\frac{1}{2x})^2 = 25$

$4x^2 - 2 + \frac{1}{4x^2} = 25$

Теперь, чтобы найти значение искомого выражения, прибавим 2 к обеим частям равенства:

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 25 + 2$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 27$

Ответ: 27.

3) Дано равенство $2x + \frac{1}{2x} = 2$. Действуем аналогично пункту 1, возводя обе части в квадрат:

$(2x + \frac{1}{2x})^2 = 2^2$

$4x^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{2x}) + \frac{1}{4x^2} = 4$

$4x^2 + 2 + \frac{1}{4x^2} = 4$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 4 - 2$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 2$

Ответ: 2.

4) Дано равенство $2x - \frac{1}{2x} = 4$. Действуем аналогично пункту 2, возводя обе части в квадрат:

$(2x - \frac{1}{2x})^2 = 4^2$

$4x^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{2x}) + \frac{1}{4x^2} = 16$

$4x^2 - 2 + \frac{1}{4x^2} = 16$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 16 + 2$

$4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 18$

Ответ: 18.