Номер 13.19, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.19. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_{1}^{8} \frac{5dx}{2x^3}$;

2) $\int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}}dx$;

3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{2x-1}dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{8} \frac{5dx}{2x^{2/3}}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала преобразуем подынтегральную функцию и вынесем константу за знак интеграла:

$\int_{1}^{8} \frac{5}{2x^{2/3}} dx = \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-2/3} dx$.

Найдем первообразную для степенной функции $x^n$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n = -2/3$.

$\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3} = 3\sqrt[3]{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

$\frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-2/3} dx = \frac{5}{2} \left. (3\sqrt[3]{x}) \right|_{1}^{8} = \frac{15}{2} \left. \sqrt[3]{x} \right|_{1}^{8} = \frac{15}{2}(\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{1})$.

Вычисляем значение:

$\frac{15}{2}(2 - 1) = \frac{15}{2} = 7.5$.

Ответ: $7.5$.

2) Рассмотрим интеграл $\int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-1/2}}dx$.

Упростим подынтегральное выражение: $\frac{3}{x^{-1/2}} = 3x^{1/2}$.

Интеграл принимает вид: $\int_{4}^{9} 3x^{1/2} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 3x^{1/2}$, используя ту же формулу для степенной функции:

$F(x) = \int 3x^{1/2} dx = 3 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = 2x^{3/2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} 3x^{1/2} dx = \left. 2x^{3/2} \right|_{4}^{9} = 2 \cdot (9^{3/2}) - 2 \cdot (4^{3/2})$.

Вычислим значения степеней: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Подставляем и получаем результат:

$2 \cdot 27 - 2 \cdot 8 = 54 - 16 = 38$.

Ответ: $38$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{1/2}^{1} \sqrt{2x-1} dx$ используем метод замены переменной.

Пусть $t = 2x-1$. Тогда найдем дифференциал $dt = d(2x-1) = (2x-1)'dx = 2dx$, откуда следует, что $dx = \frac{dt}{2}$.

Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $t$:

Нижний предел: если $x = 1/2$, то $t = 2 \cdot (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0$.

Верхний предел: если $x = 1$, то $t = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{1/2}^{1} \sqrt{2x-1} dx = \int_{0}^{1} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{1/2} dt$.

Теперь находим первообразную и вычисляем интеграл:

$\frac{1}{2} \left. \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left. \frac{t^{3/2}}{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left. t^{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left. t^{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.