Номер 13.15, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.15. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2}$ в точке с абсциссой $x = 32$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2}$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 32$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 32$ (ординату точки касания):

$f(32) = 32^{\frac{3}{5}} + 2 \cdot 32^{-2}$

Вычислим каждое слагаемое:

$32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$

$2 \cdot 32^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{32^2} = 2 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{2}{1024} = \frac{1}{512}$

Таким образом,

$f(32) = 8 + \frac{1}{512} = \frac{8 \cdot 512 + 1}{512} = \frac{4096 + 1}{512} = \frac{4097}{512}$

Точка касания имеет координаты $(32, \frac{4097}{512})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2})' = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} + 2(-2)x^{-2-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} - 4x^{-3}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 32$, которое равно угловому коэффициенту касательной $k$:

$k = f'(32) = \frac{3}{5} \cdot 32^{-\frac{2}{5}} - 4 \cdot 32^{-3}$

Вычислим каждое слагаемое:

$32^{-\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$32^{-3} = (2^5)^{-3} = 2^{-15} = \frac{1}{32768}$

Таким образом,

$k = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{32768} = \frac{3}{20} - \frac{4}{32768} = \frac{3}{20} - \frac{1}{8192}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 ($2^2 \cdot 5$) и 8192 ($2^{13}$) равен $5 \cdot 2^{13} = 40960$.

$k = \frac{3 \cdot 2048}{20 \cdot 2048} - \frac{1 \cdot 5}{8192 \cdot 5} = \frac{6144}{40960} - \frac{5}{40960} = \frac{6139}{40960}$

4. Подставим найденные значения $f(32) = \frac{4097}{512}$, $f'(32) = \frac{6139}{40960}$ и $x_0 = 32$ в уравнение касательной:

$y = \frac{4097}{512} + \frac{6139}{40960}(x - 32)$

5. Упростим уравнение:

$y = \frac{4097}{512} + \frac{6139}{40960}x - \frac{6139 \cdot 32}{40960}$

Упростим последнее слагаемое: $\frac{6139 \cdot 32}{40960} = \frac{6139}{1280}$.

$y = \frac{6139}{40960}x + \frac{4097}{512} - \frac{6139}{1280}$

Вычислим свободный член, приведя дроби к общему знаменателю $2560$:

$\frac{4097}{512} - \frac{6139}{1280} = \frac{4097 \cdot 5}{512 \cdot 5} - \frac{6139 \cdot 2}{1280 \cdot 2} = \frac{20485}{2560} - \frac{12278}{2560} = \frac{20485 - 12278}{2560} = \frac{8207}{2560}$

Итоговое уравнение касательной:

$y = \frac{6139}{40960}x + \frac{8207}{2560}$

Ответ: $y = \frac{6139}{40960}x + \frac{8207}{2560}$