Страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.12. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx$;

2) $\int_{1}^{32} \left(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)dx$;

3) $\int_{1}^{3} (x^3 + x)^2 dx.

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int 3x^{-2}dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a = -3$ и $b = -2$ в первообразную:

$\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx = F(-2) - F(-3) = \left(-\frac{3}{-2}\right) - \left(-\frac{3}{-3}\right) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3-2}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{32} \frac{1}{\sqrt[5]{x}}dx$.

Сперва представим подынтегральную функцию в виде степени $x$: $\frac{1}{\sqrt[5]{x}} = \frac{1}{x^{1/5}} = x^{-1/5}$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{32} x^{-1/5}dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/5}$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{x^{-1/5 + 1}}{-1/5 + 1} = \frac{x^{4/5}}{4/5} = \frac{5}{4}x^{4/5}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=32$:

$\int_{1}^{32} x^{-1/5}dx = F(32) - F(1) = \frac{5}{4}(32)^{4/5} - \frac{5}{4}(1)^{4/5}$.

Вычислим значения выражений в скобках:

$(32)^{4/5} = (\sqrt[5]{32})^4 = 2^4 = 16$.

$(1)^{4/5} = 1$.

Подставляем эти значения обратно:

$\frac{5}{4} \cdot 16 - \frac{5}{4} \cdot 1 = 5 \cdot 4 - \frac{5}{4} = 20 - \frac{5}{4} = \frac{80}{4} - \frac{5}{4} = \frac{75}{4}$.

Ответ: $\frac{75}{4}$.

3)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} (x^3 + x)^2 dx$.

Для начала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^3 + x)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot x + x^2 = x^6 + 2x^4 + x^2$.

Теперь интеграл имеет вид: $\int_{1}^{3} (x^6 + 2x^4 + x^2)dx$.

Найдем первообразную, интегрируя каждое слагаемое по отдельности:

$F(x) = \int (x^6 + 2x^4 + x^2)dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + 2\frac{x^{4+1}}{4+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^7}{7} + \frac{2x^5}{5} + \frac{x^3}{3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$ с пределами $a=1$ и $b=3$:

$\int_{1}^{3} (x^6 + 2x^4 + x^2)dx = \left(\frac{3^7}{7} + \frac{2 \cdot 3^5}{5} + \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{1^7}{7} + \frac{2 \cdot 1^5}{5} + \frac{1^3}{3}\right)$.

Вычислим значения для верхнего и нижнего пределов:

$F(3) = \frac{2187}{7} + \frac{2 \cdot 243}{5} + \frac{27}{3} = \frac{2187}{7} + \frac{486}{5} + 9$.

$F(1) = \frac{1}{7} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3}$.

Теперь найдем разность $F(3) - F(1)$, сгруппировав слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$\left(\frac{2187}{7} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{486}{5} - \frac{2}{5}\right) + \left(9 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2186}{7} + \frac{484}{5} + \frac{26}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$:

$\frac{2186 \cdot 15}{105} + \frac{484 \cdot 21}{105} + \frac{26 \cdot 35}{105} = \frac{32790}{105} + \frac{10164}{105} + \frac{910}{105} = \frac{32790 + 10164 + 910}{105} = \frac{43864}{105}$.

Ответ: $\frac{43864}{105}$.

13.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = -x^2 + 2x, y = -3;$

2) $y = \sqrt{x}, y = 2, x = 9.$

1) Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 2x$ и прямой $y = -3$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения: $-x^2 + 2x = -3$.

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Это будут наши пределы интегрирования.

Парабола $y = -x^2 + 2x$ имеет ветви, направленные вниз. Ее вершина находится в точке $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина $(1, 1)$ находится выше прямой $y = -3$. Следовательно, в промежутке от $-1$ до $3$ график параболы находится над графиком прямой.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{3} ((-x^2 + 2x) - (-3)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx$.

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную:$F(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right)\bigg|_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-\frac{27}{3} + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = (-9 + 18) - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 2$ и $x = 9$. Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы области интегрирования.

Найдем точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$: $\sqrt{x} = 2$, откуда $x = 4$.

Таким образом, фигура ограничена снизу прямой $y=2$, сверху кривой $y=\sqrt{x}$, слева абсциссой их пересечения $x=4$ и справа прямой $x=9$. На промежутке $[4, 9]$ график функции $y=\sqrt{x}$ лежит выше прямой $y=2$.

Площадь фигуры можно вычислить как интеграл разности верхней функции ($y = \sqrt{x}$) и нижней функции ($y=2$) в пределах от $x=4$ до $x=9$:

$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) \,dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:$F(x) = \int (\sqrt{x} - 2) \,dx = \int (x^{1/2} - 2) \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left(\frac{2}{3}x^{3/2} - 2x\right)\bigg|_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} - 2 \cdot 9\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - 2 \cdot 4\right)$.

Вычислим значения степеней: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Подставим эти значения обратно в выражение:

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - 8\right) = (18 - 18) - \left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

13.14. Найдите производные функции $y=f(x)$:

1) $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2\sqrt{2x}}}$;

3) $y = \frac{1+2x-x^4}{x\sqrt{x}}$;

4) $y = x^{-\sqrt{7}}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ сначала упростим выражение, представив его в виде степенной функции.$y = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{1+1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}$.Теперь найдем производную, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.Запишем результат, используя корень: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^2\sqrt[3]{2x}}$ также сначала упростим выражение.$y = \frac{1}{x^2 \cdot (2x)^{1/3}} = \frac{1}{x^2 \cdot 2^{1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{1}{x^{2+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}x^{-7/3}$.Теперь найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (\frac{1}{\sqrt[3]{2}}x^{-7/3})' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot (-\frac{7}{3})x^{-\frac{7}{3} - 1} = -\frac{7}{3\sqrt[3]{2}}x^{-10/3}$.Преобразуем выражение к более удобному виду: $y' = -\frac{7}{3\sqrt[3]{2}x^{10/3}} = -\frac{7}{3x^3\sqrt[3]{2x}}$.Ответ: $y' = -\frac{7}{3x^3\sqrt[3]{2x}}$.

3) Для функции $y = \frac{1+2x-x^4}{x\sqrt{x}}$ преобразуем знаменатель и разделим числитель на знаменатель почленно.Знаменатель: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.$y = \frac{1+2x-x^4}{x^{3/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} + \frac{2x}{x^{3/2}} - \frac{x^4}{x^{3/2}} = x^{-3/2} + 2x^{1-\frac{3}{2}} - x^{4-\frac{3}{2}} = x^{-3/2} + 2x^{-1/2} - x^{5/2}$.Теперь найдем производную как сумму производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{-3/2})' + (2x^{-1/2})' - (x^{5/2})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} + 2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}$.$y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.Чтобы упростить выражение, вынесем за скобки общий множитель $\frac{x^{-5/2}}{2}$:$y' = \frac{x^{-5/2}}{2}(-3 - 2x^{-3/2 - (-5/2)} - 5x^{5/2 - (-5/2)}) = \frac{x^{-5/2}}{2}(-3 - 2x^{1} - 5x^{4}) = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^{5/2}}$.Запишем знаменатель с использованием корня: $y' = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^2\sqrt{x}}$.Ответ: $y' = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^2\sqrt{x}}$.

4) Функция $y = x^{-\sqrt{7}}$ уже представлена в виде степенной функции $y = x^n$, где показатель $n = -\sqrt{7}$ является постоянным числом.Для нахождения производной используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{-\sqrt{7}})' = -\sqrt{7} \cdot x^{-\sqrt{7}-1}$.Ответ: $y' = -\sqrt{7}x^{-\sqrt{7}-1}$.

13.15. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2}$ в точке с абсциссой $x = 32$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2}$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 32$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 32$ (ординату точки касания):

$f(32) = 32^{\frac{3}{5}} + 2 \cdot 32^{-2}$

Вычислим каждое слагаемое:

$32^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$

$2 \cdot 32^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{32^2} = 2 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{2}{1024} = \frac{1}{512}$

Таким образом,

$f(32) = 8 + \frac{1}{512} = \frac{8 \cdot 512 + 1}{512} = \frac{4096 + 1}{512} = \frac{4097}{512}$

Точка касания имеет координаты $(32, \frac{4097}{512})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{3}{5}} + 2x^{-2})' = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} + 2(-2)x^{-2-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} - 4x^{-3}$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 32$, которое равно угловому коэффициенту касательной $k$:

$k = f'(32) = \frac{3}{5} \cdot 32^{-\frac{2}{5}} - 4 \cdot 32^{-3}$

Вычислим каждое слагаемое:

$32^{-\frac{2}{5}} = (\sqrt[5]{32})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$32^{-3} = (2^5)^{-3} = 2^{-15} = \frac{1}{32768}$

Таким образом,

$k = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{32768} = \frac{3}{20} - \frac{4}{32768} = \frac{3}{20} - \frac{1}{8192}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 ($2^2 \cdot 5$) и 8192 ($2^{13}$) равен $5 \cdot 2^{13} = 40960$.

$k = \frac{3 \cdot 2048}{20 \cdot 2048} - \frac{1 \cdot 5}{8192 \cdot 5} = \frac{6144}{40960} - \frac{5}{40960} = \frac{6139}{40960}$

4. Подставим найденные значения $f(32) = \frac{4097}{512}$, $f'(32) = \frac{6139}{40960}$ и $x_0 = 32$ в уравнение касательной:

$y = \frac{4097}{512} + \frac{6139}{40960}(x - 32)$

5. Упростим уравнение:

$y = \frac{4097}{512} + \frac{6139}{40960}x - \frac{6139 \cdot 32}{40960}$

Упростим последнее слагаемое: $\frac{6139 \cdot 32}{40960} = \frac{6139}{1280}$.

$y = \frac{6139}{40960}x + \frac{4097}{512} - \frac{6139}{1280}$

Вычислим свободный член, приведя дроби к общему знаменателю $2560$:

$\frac{4097}{512} - \frac{6139}{1280} = \frac{4097 \cdot 5}{512 \cdot 5} - \frac{6139 \cdot 2}{1280 \cdot 2} = \frac{20485}{2560} - \frac{12278}{2560} = \frac{20485 - 12278}{2560} = \frac{8207}{2560}$

Итоговое уравнение касательной:

$y = \frac{6139}{40960}x + \frac{8207}{2560}$

Ответ: $y = \frac{6139}{40960}x + \frac{8207}{2560}$

13.16. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi;$

2) $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}.$

1)Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi$, необходимо сначала упростить выражение для $f(x)$.

Преобразуем выражение под кубическим корнем, используя свойства степеней:

$2x\sqrt{3x} = 2x(3x)^{1/2} = 2x \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1 + 1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}$.

Теперь подставим это обратно в исходную функцию:

$f(x) = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}} + \pi = (2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2})^{1/3} + \pi = 2^{1/3} \cdot (3^{1/2})^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3} + \pi$.

Упростим степени:

$f(x) = 2^{1/3} \cdot 3^{1/6} \cdot x^{1/2} + \pi$.

Можно объединить коэффициенты: $2^{1/3} = (2^2)^{1/6} = 4^{1/6}$, поэтому $2^{1/3} \cdot 3^{1/6} = 4^{1/6} \cdot 3^{1/6} = (4 \cdot 3)^{1/6} = 12^{1/6} = \sqrt[6]{12}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \sqrt[6]{12} x^{1/2} + \pi$.

Теперь найдем общий вид первообразных $F(x)$, который представляет собой неопределенный интеграл от $f(x)$. Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и интеграл от константы.

$F(x) = \int (\sqrt[6]{12} x^{1/2} + \pi) dx = \sqrt[6]{12} \int x^{1/2} dx + \int \pi dx$

$F(x) = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \pi x + C = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \pi x + C = \frac{2}{3}\sqrt[6]{12} x^{3/2} + \pi x + C$.

Выражение $x^{3/2}$ можно записать как $x\sqrt{x}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}\sqrt[6]{12} x\sqrt{x} + \pi x + C$.

2)Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$, сначала упростим выражение для $f(x)$.

Разделим каждый член числителя дроби на знаменатель $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Это возможно при $x>0$.

$f(x) = \frac{3x^2}{x^{1/2}} - \frac{x^1}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} - \sqrt{2}$.

Используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$, получаем:

$f(x) = 3x^{2-1/2} - x^{1-1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2} = 3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}$.

Теперь найдем общий вид первообразных $F(x)$, проинтегрировав функцию $f(x)$ почленно, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}) dx = 3\int x^{3/2}dx - \int x^{1/2}dx + \int x^{-1/2}dx - \int \sqrt{2}dx$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - \sqrt{2}x + C$

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} - \sqrt{2}x + C$

$F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.

Можно также представить ответ, используя корни: $F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.

13.17. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int \frac{dx}{7 \cos^2 (3 - x)}$;

2) $\int \frac{\cos^2 x dx}{1 - \sin x}$.

1) Для решения интеграла $ \int \frac{dx}{7 \cos^2 (3-x)} $ сначала вынесем постоянный множитель $ \frac{1}{7} $ за знак интеграла:

$ \frac{1}{7} \int \frac{dx}{\cos^2 (3-x)} $

Далее применим метод замены переменной. Введем новую переменную $ t = 3-x $. Найдем ее дифференциал: $ dt = d(3-x) = (3-x)' dx = -1 \cdot dx = -dx $. Отсюда выразим $ dx = -dt $.

Подставим $ t $ и $ dt $ в интеграл:

$ \frac{1}{7} \int \frac{-dt}{\cos^2 t} = -\frac{1}{7} \int \frac{dt}{\cos^2 t} $

Получившийся интеграл является табличным: $ \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \tan t + C $.

Таким образом, получаем:

$ -\frac{1}{7} \tan t + C $

Выполним обратную замену, подставив вместо $ t $ выражение $ 3-x $:

$ -\frac{1}{7} \tan(3-x) + C $

Ответ: $ -\frac{1}{7} \tan(3-x) + C $.

2) Для нахождения интеграла $ \int \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} dx $ преобразуем подынтегральное выражение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Из него следует, что $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$ \int \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \sin x} dx $

Числитель $ 1 - \sin^2 x $ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x) $

Подставим разложение в интеграл и сократим дробь:

$ \int \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x} dx = \int (1 + \sin x) dx $

Теперь проинтегрируем полученную сумму. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$ \int 1 dx + \int \sin x dx $

Это табличные интегралы: $ \int 1 dx = x $ и $ \int \sin x dx = -\cos x $.

Сложив результаты и добавив произвольную постоянную $ C $, получим окончательное решение:

$ x - \cos x + C $

Ответ: $ x - \cos x + C $.

13.18. Найдите первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$, график которой проходит через точку $M(1; 1,5)$.

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку, нужно сначала найти общую первообразную, а затем, используя координаты точки, определить значение постоянной интегрирования $C$.

1. Запишем функцию $f(x)$ в виде степенных функций, чтобы было удобнее интегрировать:

$f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x} = x^{1/2} + 2x^{1/3}$

2. Найдем общую первообразную $F(x)$, интегрируя функцию $f(x)$ по правилу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + 2 \int x^{1/3} dx$

$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C$

$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$

3. Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 1.5)$. Это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $1.5$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти $C$:

$F(1) = 1.5$

$\frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C = 1.5$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, получаем:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 1.5$

4. Решим уравнение относительно $C$. Приведем дроби к общему знаменателю и представим $1.5$ как $\frac{3}{2}$:

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + C = \frac{3}{2}$

$\frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = \frac{3}{2}$

$\frac{13}{6} + C = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = \frac{9}{6} - \frac{13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

5. Подставим найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

Можно также записать ответ, используя корни:

$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3}$

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

13.19. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_{1}^{8} \frac{5dx}{2x^3}$;

2) $\int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}}dx$;

3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{2x-1}dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{8} \frac{5dx}{2x^{2/3}}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала преобразуем подынтегральную функцию и вынесем константу за знак интеграла:

$\int_{1}^{8} \frac{5}{2x^{2/3}} dx = \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-2/3} dx$.

Найдем первообразную для степенной функции $x^n$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n = -2/3$.

$\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3} = 3\sqrt[3]{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

$\frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-2/3} dx = \frac{5}{2} \left. (3\sqrt[3]{x}) \right|_{1}^{8} = \frac{15}{2} \left. \sqrt[3]{x} \right|_{1}^{8} = \frac{15}{2}(\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{1})$.

Вычисляем значение:

$\frac{15}{2}(2 - 1) = \frac{15}{2} = 7.5$.

Ответ: $7.5$.

2) Рассмотрим интеграл $\int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-1/2}}dx$.

Упростим подынтегральное выражение: $\frac{3}{x^{-1/2}} = 3x^{1/2}$.

Интеграл принимает вид: $\int_{4}^{9} 3x^{1/2} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 3x^{1/2}$, используя ту же формулу для степенной функции:

$F(x) = \int 3x^{1/2} dx = 3 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} = 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = 2x^{3/2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} 3x^{1/2} dx = \left. 2x^{3/2} \right|_{4}^{9} = 2 \cdot (9^{3/2}) - 2 \cdot (4^{3/2})$.

Вычислим значения степеней: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$ и $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Подставляем и получаем результат:

$2 \cdot 27 - 2 \cdot 8 = 54 - 16 = 38$.

Ответ: $38$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{1/2}^{1} \sqrt{2x-1} dx$ используем метод замены переменной.

Пусть $t = 2x-1$. Тогда найдем дифференциал $dt = d(2x-1) = (2x-1)'dx = 2dx$, откуда следует, что $dx = \frac{dt}{2}$.

Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $t$:

Нижний предел: если $x = 1/2$, то $t = 2 \cdot (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0$.

Верхний предел: если $x = 1$, то $t = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Подставляем новую переменную и новые пределы в интеграл:

$\int_{1/2}^{1} \sqrt{2x-1} dx = \int_{0}^{1} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{1/2} dt$.

Теперь находим первообразную и вычисляем интеграл:

$\frac{1}{2} \left. \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left. \frac{t^{3/2}}{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left. t^{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left. t^{3/2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

13.20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^2$, $x = 0$, $x = 5$, $y = \frac{1}{x^2}(x > 0)$;

2) $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$, $x = -1$, $x = 0$.

1)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 0$ и $x = 5$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по оси $x$ заданы от 0 до 5.

Для вычисления площади необходимо определить, какая из функций, $y = x^2$ или $y = \frac{1}{x^2}$, является верхней, а какая - нижней границей фигуры. Для этого найдем их точки пересечения:

$x^2 = \frac{1}{x^2} \implies x^4 = 1$

Учитывая условие $x > 0$, получаем единственную точку пересечения в первом квадранте: $x = 1$.

Таким образом, интервал интегрирования $[0, 5]$ разбивается на два подинтервала: $[0, 1]$ и $[1, 5]$.

• На интервале $(0, 1)$, выберем пробную точку $x=0.5$. Тогда $y = x^2 = 0.25$, а $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0.25} = 4$. Значит, на этом интервале график функции $y = \frac{1}{x^2}$ лежит выше графика $y=x^2$.

• На интервале $(1, 5)$, выберем пробную точку $x=2$. Тогда $y = x^2 = 4$, а $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} = 0.25$. Значит, на этом интервале график функции $y = x^2$ лежит выше графика $y=\frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ фигуры равна сумме площадей на двух участках:

$S = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)dx + \int_{1}^{5} \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)dx$

Рассмотрим первый интеграл: $\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)dx$.

Этот интеграл является несобственным, так как функция $y = \frac{1}{x^2}$ имеет разрыв в точке $x=0$. Вычислим его через предел:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-2} dx = \lim_{a \to 0^+} \left[-\frac{1}{x}\right]_{a}^{1} = \lim_{a \to 0^+} \left(-\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{a}\right)\right) = \lim_{a \to 0^+} \left(-1 + \frac{1}{a}\right) = \infty$.

Поскольку одна из составляющих площади равна бесконечности, то и вся площадь фигуры является бесконечной.

Ответ: площадь фигуры бесконечна.

2)

Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$, $x = -1$ и $x = 0$. Площадь фигуры находится как интеграл от разности верхней и нижней ограничивающих функций по промежутку интегрирования от $x=-1$ до $x=0$.

Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 0)$. Для этого можно сравнить их значения в любой точке этого интервала, например, в точке $x = -1/8$:

$y = x^3 = \left(-\frac{1}{8}\right)^3 = -\frac{1}{512}$

$y = \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $-\frac{1}{512} > -\frac{1}{2}$, на интервале $(-1, 0)$ график функции $y = x^3$ расположен выше графика функции $y = \sqrt[3]{x}$.

Следовательно, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - \sqrt[3]{x})dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^{1/3})dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^{4/3}}{4/3}\right]_{-1}^{0} = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3}{4}x^{4/3}\right]_{-1}^{0}$

$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{3}{4}(-1)^{4/3}\right)$

$S = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-1})^4\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}(-1)^4\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right) = -\left(-\frac{2}{4}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

13.21. При каком значении $a$, где $a \in (1; 2)$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$, делится пополам прямой $x = a$?

Для решения задачи необходимо найти такое значение $a$, при котором площадь под графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$ на отрезке $[1, a]$ будет равна половине площади под этим же графиком на отрезке $[1, 2]$.

1. Сначала вычислим общую площадь $S$ фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Эта площадь находится с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Общая площадь фигуры равна $\frac{1}{2}$.

2. По условию, прямая $x=a$ делит эту площадь пополам. Значит, площадь фигуры на отрезке от $1$ до $a$ должна быть равна половине общей площади:

$S_1 = \frac{S}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$

Площадь $S_1$ также вычисляется через интеграл:

$S_1 = \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{4}$

Вычислим этот интеграл:

$\int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{a} = \left(-\frac{1}{a}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{a}$

3. Теперь составим и решим уравнение для нахождения $a$:

$1 - \frac{1}{a} = \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{a}$

$\frac{3}{4} = \frac{1}{a}$

Отсюда находим $a$:

$a = \frac{4}{3}$

4. Проверим, что найденное значение $a$ удовлетворяет условию $a \in (1; 2)$.

$a = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Поскольку $1 < 1\frac{1}{3} < 2$, условие выполняется.

Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

13.22. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} - \frac{8}{x^2-4} = 0;$

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} + \frac{6}{4-x} = 0;$

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2;$

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} - \frac{8}{x^2-4} = 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Разложим знаменатель $x^2-4$ на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Это общий знаменатель для всех дробей в уравнении.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} = 0 $

Теперь мы можем отбросить знаменатель, решив уравнение для числителя, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ:

$x(x+2) - 7(x-2) - 8 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x - 7x + 14 - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Подбираем корни: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_2=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3.

2) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} + \frac{6}{4-x} = 0 $.

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$, $x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$, $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Преобразуем уравнение, вынеся минус из знаменателя последней дроби: $4-x = -(x-4)$.

$ \frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x(x-4)} - \frac{6}{x-4} = 0 $

Общий знаменатель равен $x(x-4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-4) + (x^2+8) - 6x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x - 8 + x^2 + 8 - 6x = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобку:

$x(x-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$). Оба корня не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, они являются посторонними.

Ответ: корней нет.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4x-14}{x-3} = x - 2 $.

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-3)$, чтобы избавиться от дроби:

$4x - 14 = (x-2)(x-3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x - 14 = x^2 - 3x - 2x + 6$

$4x - 14 = x^2 - 5x + 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 4x + 6 + 14 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2=9$ и $x_1 \cdot x_2=20$. Корни: $x_1=4$ и $x_2=5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: 4; 5.

4) Исходное уравнение: $ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x} $.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Подставим это в уравнение:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{-(x-1)} $

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = -\frac{2x-1}{x-1} $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 + \frac{2x-1}{x-1} = 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{2x-1}{x-1} = 0 $

Объединим числители:

$ \frac{(x^2-2x) - 2(x-1) + (2x-1)}{x-1} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 2x - 2(x-1) + 2x - 1 = 0$

$x^2 - 2x - 2x + 2 + 2x - 1 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности:

$(x-1)^2 = 0$

Отсюда $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$). Найденный корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Ответ: корней нет.