Страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.3. Найдите неопределенный интеграл функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

2) $f(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$;

3) $f(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}$;

4) $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$.

1) Чтобы найти неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, необходимо сначала представить ее в виде степенной функции.

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся основной формулой интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = x^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $\sqrt{x} + C$.

2) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^3}}$.

Сначала упростим выражение для функции. Так как кубический корень из $x^3$ равен $x$ (т.е. $\sqrt[3]{x^3} = x$), то:

$f(x) = \frac{2}{3x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x}$.

Теперь интегрируем, используя табличный интеграл для функции $\frac{1}{x}$, который равен $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

$\int \frac{2}{3x} dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x} dx = \frac{2}{3} \ln|x| + C$.

Ответ: $\frac{2}{3} \ln|x| + C$.

3) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}}$.

Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n = \frac{4}{5}$.

$\int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C$.

Упростим полученное выражение:

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{15}{36} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{5}{12} x^{\frac{9}{5}} + C$.

Ответ: $\frac{5}{12} x^{\frac{9}{5}} + C$.

4) Найдем неопределенный интеграл функции $f(x) = x^{-\frac{7}{8}}$.

И снова используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n = -\frac{7}{8}$.

$\int x^{-\frac{7}{8}} dx = \frac{x^{-\frac{7}{8}+1}}{-\frac{7}{8}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{8}}}{\frac{1}{8}} + C = 8x^{\frac{1}{8}} + C$.

Ответ: $8x^{\frac{1}{8}} + C$.

13.4. Вычислите производную функции $y=f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $x_0 = 8$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $x_0 = 9$;

3) $f(x) = -\frac{3}{x^2}$, $x_0 = 6$;

4) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $x_0 = 1$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 8$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Запишем производную в виде с корнем для удобства вычислений: $f'(x) = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:

$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и точка $x_0 = 9$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-\frac{1}{2}}$.

Найдем производную по формуле для степенной функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

Запишем производную в виде дроби с корнем: $f'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = -\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2 \cdot (\sqrt{9})^3} = -\frac{1}{2 \cdot 3^3} = -\frac{1}{2 \cdot 27} = -\frac{1}{54}$.

Ответ: $-\frac{1}{54}$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{3}{x^2}$ и точка $x_0 = 6$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = -3x^{-2}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (-3x^{-2})' = -3 \cdot (-2)x^{-2-1} = 6x^{-3}$.

Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = \frac{6}{x^3}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 6$:

$f'(6) = \frac{6}{6^3} = \frac{6}{216}$.

Сократим дробь: $f'(6) = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1$.

Функция уже представлена в виде степени, поэтому сразу находим производную:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}} = -\frac{1}{3 \cdot 1} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

13.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = x^{\frac{4}{5}}$, $x_0 = -1$.

1) Для составления уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ воспользуемся формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 1^{-\frac{3}{4}} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{3}{4}})' = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -\frac{3}{4} \cdot 1^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-\frac{3}{4}$ и $x_0=1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-\frac{3}{4})(x - 1)$

$y = 1 - \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}$

$y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$.

Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = x^{\frac{4}{5}}$ и точка $x_0 = -1$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-1) = (-1)^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{-1})^4 = (-1)^4 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{5}})' = \frac{4}{5}x^{\frac{4}{5}-1} = \frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-1) = \frac{4}{5}(-1)^{-\frac{1}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{-1}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{4}{5}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)=1$, $f'(x_0)=-\frac{4}{5}$ и $x_0=-1$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-\frac{4}{5})(x - (-1))$

$y = 1 - \frac{4}{5}(x + 1)$

$y = 1 - \frac{4}{5}x - \frac{4}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.

Ответ: $y = -\frac{4}{5}x + \frac{1}{5}$.

13.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{x}$, $y = 1$, $x = 9$;

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -2$.

1) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 1$, $x = 9$.

Для вычисления площади фигуры необходимо определить пределы интегрирования и какая из функций является верхней, а какая — нижней.

Найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$ для определения левой границы фигуры.

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Правая граница фигуры задана прямой $x = 9$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[1, 9]$.

На отрезке $[1, 9]$ сравним значения функций. Для любого $x \geq 1$, выполняется неравенство $\sqrt{x} \geq 1$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = 1$.

Площадь $S$ фигуры равна определенному интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{9} (\sqrt{x} - 1) dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} - 1 = x^{1/2} - 1$:

$F(x) = \int (x^{1/2} - 1) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - x = \frac{x^{3/2}}{3/2} - x = \frac{2}{3}x^{3/2} - x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x \right]_{1}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 9\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - 1\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 - 9\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3}\right)$

$S = (18 - 9) + \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $\frac{28}{3}$

2) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -2$.

Пределы интегрирования заданы вертикальными прямыми $x = -3$ и $x = -2$.

Определим, какая из функций является верхней на отрезке $[-3, -2]$. Сравним $y=1$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Для любого $x \in [-3, -2]$, имеем $2 \le |x| \le 3$. Возведя в квадрат, получаем $4 \le x^2 \le 9$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{9} \le \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{4}$.

Так как максимальное значение функции $y = \frac{1}{x^2}$ на данном отрезке равно $\frac{1}{4}$, что меньше 1, то прямая $y=1$ находится выше графика функции $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней ($y=1$) и нижней ($y = \frac{1}{x^2}$) функций:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 1 - x^{-2}$:

$F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = x - \frac{x^{-1}}{-1} = x + x^{-1} = x + \frac{1}{x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{-3}^{-2} = \left(-2 + \frac{1}{-2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{-3}\right)$

$S = \left(-2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-3 - \frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{-5 \cdot 3 + 10 \cdot 2}{6} = \frac{-15 + 20}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

13.7. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}$;

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$;

4) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$;

5) $f(x) = x\sqrt[3]{x^2}$;

6) $f(x) = \frac{x+5}{x^4}$.

1) Сначала преобразуем функцию, используя свойства степеней: $f(x) = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$.

Запишем ответ в виде корня: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

2) Данная функция является степенной функцией вида $f(x) = x^n$, где $n = \sqrt{3}$ - это постоянный показатель степени.

Применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$.

3) Представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Перепишем результат в виде дроби: $f'(x) = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{x^5}$.

4) Сначала преобразуем функцию. Корень в знаменателе можно представить как степень: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Тогда функция имеет вид: $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} = \frac{3}{x^{1/3}} = 3x^{-1/3}$.

Теперь найдем производную: $f'(x) = (3x^{-1/3})' = 3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} = -x^{-4/3}$.

Запишем ответ в виде дроби с корнем: $f'(x) = -\frac{1}{x^{4/3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$.

Ответ: $f'(x) = -x^{-4/3}$.

5) Преобразуем функцию, представив корень в виде степени: $f(x) = x\sqrt[3]{x^2} = x^1 \cdot x^{2/3} = x^{1+2/3} = x^{5/3}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{5/3})' = \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} = \frac{5}{3}x^{2/3}$.

Возвращаясь к корням, получаем: $f'(x) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.

6) Для нахождения производной эту функцию удобно представить в виде суммы двух слагаемых, разделив числитель на знаменатель почленно: $f(x) = \frac{x+5}{x^4} = \frac{x}{x^4} + \frac{5}{x^4}$.

Упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней: $f(x) = x^{1-4} + 5x^{-4} = x^{-3} + 5x^{-4}$.

Теперь найдем производную как сумму производных: $f'(x) = (x^{-3})' + (5x^{-4})' = -3x^{-3-1} + 5(-4)x^{-4-1} = -3x^{-4} - 20x^{-5}$.

Представим результат в виде дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю $x^5$: $f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x}{x^5} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x+20}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3x+20}{x^5}$.

13.8. Найдите неопределенный интеграл функции $y = f(x)$ и проверьте решение с помощью дифференцирования:

1) $f(x) = 5x^{\frac{1}{5}};$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x\sqrt{x}}};$

3) $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^3};$

4) $f(x) = (x^5 + x)^2.$

1)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = 5x^{\frac{1}{5}}$.

Для нахождения интеграла воспользуемся табличным интегралом для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и свойством вынесения константы за знак интеграла.

$\int 5x^{\frac{1}{5}} dx = 5 \int x^{\frac{1}{5}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C = 5 \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} + C = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

Для проверки решения найдем производную от полученной функции $F(x) = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

$F'(x) = (\frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C)' = \frac{25}{6} \cdot (\frac{6}{5}x^{\frac{6}{5}-1}) + 0 = 5x^{\frac{1}{5}} = f(x)$.

Производная от результата интегрирования равна исходной подынтегральной функции, значит, решение верно.

Ответ: $\int 5x^{\frac{1}{5}} dx = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

2)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Сначала преобразуем подынтегральную функцию, представив ее в виде степени $x$:

$f(x) = \frac{1}{x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{-\frac{4}{3}}$.

Теперь найдем интеграл, используя ту же формулу для степенной функции:

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = -3x^{-\frac{1}{3}} + C$.

$F'(x) = (-3x^{-\frac{1}{3}} + C)' = -3 \cdot (-\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1}) + 0 = x^{-\frac{4}{3}} = f(x)$.

Производная равна исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\int \frac{1}{x\sqrt[3]{x}} dx = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

3)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^{\frac{3}{8}}}$.

Упростим выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{2x^{-1}}{4x^{\frac{3}{8}}} + \frac{3x}{4x^{\frac{3}{8}}} = \frac{1}{2}x^{-1-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4}x^{1-\frac{3}{8}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}}$.

Интегрируем полученную сумму функций:

$\int (\frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}}) dx = \int \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} dx + \int \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{11}{8}+1}}{-\frac{11}{8}+1} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{8}+1}}{\frac{5}{8}+1} + C$.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{3}{8}}}{-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{13}{8}}}{\frac{13}{8}} + C = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{8}{3})x^{-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{13}x^{\frac{13}{8}} + C = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

$F'(x) = (-\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C)' = -\frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{8}x^{-\frac{3}{8}-1}) + \frac{6}{13} \cdot (\frac{13}{8}x^{\frac{13}{8}-1}) + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{6}{8}x^{\frac{5}{8}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}} = f(x)$.

Производная равна исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\int \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^{\frac{3}{8}}} dx = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

4)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = (x^5 + x)^2$.

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$f(x) = (x^5)^2 + 2 \cdot x^5 \cdot x + x^2 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Теперь найдем интеграл от многочлена, интегрируя каждое слагаемое:

$\int (x^{10} + 2x^6 + x^2) dx = \int x^{10} dx + \int 2x^6 dx + \int x^2 dx = \frac{x^{11}}{11} + 2\frac{x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C$.

$F'(x) = (\frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C)' = \frac{11x^{10}}{11} + \frac{2 \cdot 7x^6}{7} + \frac{3x^2}{3} + 0 = x^{10} + 2x^6 + x^2 = f(x)$.

Производная равна исходной функции после раскрытия скобок, значит, решение верно.

Ответ: $\int (x^5 + x)^2 dx = \frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C$.

13.9. Вычислите:
1) $\int_1^9 (\sqrt{x} + x)dx$;
2) $\int_{-1}^1 (0,25x + 3)^3dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} + x$. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int (\sqrt{x} + x) dx = \int (x^{1/2} + x^1) dx = \int x^{1/2} dx + \int x^1 dx$

Используя табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем первообразную $F(x)$:

$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^2}{2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$

Теперь подставим пределы интегрирования $a=1$ и $b=9$ в выражение для первообразной:

$\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x) dx = F(9) - F(1) = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} + \frac{9^2}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} + \frac{1^2}{2}\right)$

Вычислим значения в каждой из скобок:

$F(9) = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{81}{2} = 2 \cdot 9 + \frac{81}{2} = 18 + \frac{81}{2} = \frac{36}{2} + \frac{81}{2} = \frac{117}{2}$

$F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь найдем разность этих значений:

$\frac{117}{2} - \frac{7}{6} = \frac{117 \cdot 3}{6} - \frac{7}{6} = \frac{351 - 7}{6} = \frac{344}{6} = \frac{172}{3}$

Ответ: $\frac{172}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx$ также применим формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = (0,25x + 3)^3$. Для интегрирования функции вида $(kx+m)^n$ используем формулу $\int (kx+m)^n dx = \frac{(kx+m)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.

В нашем случае $k=0,25$, $m=3$ и $n=3$.

$F(x) = \frac{(0,25x+3)^{3+1}}{0,25 \cdot (3+1)} = \frac{(0,25x+3)^4}{0,25 \cdot 4} = \frac{(0,25x+3)^4}{1} = (0,25x+3)^4$

Подставим пределы интегрирования $a=-1$ и $b=1$:

$\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx = F(1) - F(-1) = (0,25 \cdot 1 + 3)^4 - (0,25 \cdot (-1) + 3)^4$

Вычислим значения $F(1)$ и $F(-1)$, представив десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$F(1) = (\frac{1}{4} \cdot 1 + 3)^4 = (\frac{1}{4} + \frac{12}{4})^4 = (\frac{13}{4})^4 = \frac{13^4}{4^4} = \frac{28561}{256}$

$F(-1) = (\frac{1}{4} \cdot (-1) + 3)^4 = (-\frac{1}{4} + \frac{12}{4})^4 = (\frac{11}{4})^4 = \frac{11^4}{4^4} = \frac{14641}{256}$

Найдем разность полученных значений:

$\frac{28561}{256} - \frac{14641}{256} = \frac{28561 - 14641}{256} = \frac{13920}{256}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 16, а затем еще на 2:

$\frac{13920 \div 16}{256 \div 16} = \frac{870}{16} = \frac{870 \div 2}{16 \div 2} = \frac{435}{8}$

Ответ: $\frac{435}{8}$.

13.10. Докажите, что функция $F(x) = \frac{1}{2} \sin \frac{x}{6} \cdot \cos \frac{x}{6}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{12} \cos \frac{x}{3}$.

13.10. Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Исходная функция $F(x) = \frac{1}{2}\sin\frac{x}{6} \cdot \cos\frac{x}{6}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к $F(x)$, где $\alpha = \frac{x}{6}$:

$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{x}{6}\right)\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}$.

Теперь найдем производную от упрощенной функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)'$.

Производная от $\frac{x}{3}$ равна $\frac{1}{3}$, поэтому:

$F'(x) = \frac{1}{4}\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Сравним полученный результат с заданной функцией $f(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Это доказывает, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Так как производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = \frac{1}{12}\cos\frac{x}{3}$, что совпадает с функцией $f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

13.11. Найдите первообразную для функции $f(x) = \left(\frac{x+3}{2}\right)^8$, график которой проходит через точку $M(0; 0)$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ задается формулой $F(x) = \int f(x) dx$.

Данная функция: $f(x) = \left(\frac{x+3}{2}\right)^3$.

Прежде чем интегрировать, упростим выражение для функции:$f(x) = \frac{(x+3)^3}{2^3} = \frac{1}{8}(x+3)^3$.

Теперь найдем общий вид первообразной, вычислив интеграл:$F(x) = \int \frac{1}{8}(x+3)^3 dx$.Вынесем константу за знак интеграла:$F(x) = \frac{1}{8} \int (x+3)^3 dx$.

Интеграл от степенной функции сложного аргумента вида $(kx+b)^n$ вычисляется по формуле $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.В нашем случае $k=1$, $b=3$, $n=3$.$\int (x+3)^3 dx = \frac{(x+3)^{3+1}}{1 \cdot (3+1)} + C = \frac{(x+3)^4}{4} + C$.

Подставим результат в выражение для $F(x)$:$F(x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(x+3)^4}{4} + C = \frac{(x+3)^4}{32} + C$.Это общий вид для всех первообразных функции $f(x)$.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку M(0; 0). Это значит, что при $x=0$, значение первообразной $F(x)$ равно 0, то есть $F(0) = 0$. Используем это условие, чтобы найти значение константы $C$.

Подставим $x=0$ и $F(0)=0$ в полученное уравнение:$0 = \frac{(0+3)^4}{32} + C$$0 = \frac{3^4}{32} + C$$0 = \frac{81}{32} + C$.

Отсюда находим $C$:$C = -\frac{81}{32}$.

Подставив найденное значение $C$ в общую формулу первообразной, получаем искомую функцию:$F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$.Это можно записать и в виде одной дроби: $F(x) = \frac{(x+3)^4 - 81}{32}$.

Ответ: $F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$.