Номер 13.7, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.7. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}$;

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$;

4) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$;

5) $f(x) = x\sqrt[3]{x^2}$;

6) $f(x) = \frac{x+5}{x^4}$.

1) Сначала преобразуем функцию, используя свойства степеней: $f(x) = x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$.

Запишем ответ в виде корня: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

2) Данная функция является степенной функцией вида $f(x) = x^n$, где $n = \sqrt{3}$ - это постоянный показатель степени.

Применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $f'(x) = (x^{\sqrt{3}})' = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$.

3) Представим функцию в виде степени с отрицательным показателем: $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Перепишем результат в виде дроби: $f'(x) = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{x^5}$.

4) Сначала преобразуем функцию. Корень в знаменателе можно представить как степень: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Тогда функция имеет вид: $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} = \frac{3}{x^{1/3}} = 3x^{-1/3}$.

Теперь найдем производную: $f'(x) = (3x^{-1/3})' = 3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3 - 1} = -x^{-4/3}$.

Запишем ответ в виде дроби с корнем: $f'(x) = -\frac{1}{x^{4/3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$.

Ответ: $f'(x) = -x^{-4/3}$.

5) Преобразуем функцию, представив корень в виде степени: $f(x) = x\sqrt[3]{x^2} = x^1 \cdot x^{2/3} = x^{1+2/3} = x^{5/3}$.

Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{5/3})' = \frac{5}{3}x^{5/3 - 1} = \frac{5}{3}x^{2/3}$.

Возвращаясь к корням, получаем: $f'(x) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.

6) Для нахождения производной эту функцию удобно представить в виде суммы двух слагаемых, разделив числитель на знаменатель почленно: $f(x) = \frac{x+5}{x^4} = \frac{x}{x^4} + \frac{5}{x^4}$.

Упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней: $f(x) = x^{1-4} + 5x^{-4} = x^{-3} + 5x^{-4}$.

Теперь найдем производную как сумму производных: $f'(x) = (x^{-3})' + (5x^{-4})' = -3x^{-3-1} + 5(-4)x^{-4-1} = -3x^{-4} - 20x^{-5}$.

Представим результат в виде дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю $x^5$: $f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x}{x^5} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x+20}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3x+20}{x^5}$.