Номер 13.9, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.9. Вычислите:
1) $\int_1^9 (\sqrt{x} + x)dx$;
2) $\int_{-1}^1 (0,25x + 3)^3dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} + x$. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int (\sqrt{x} + x) dx = \int (x^{1/2} + x^1) dx = \int x^{1/2} dx + \int x^1 dx$

Используя табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем первообразную $F(x)$:

$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^2}{2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$

Теперь подставим пределы интегрирования $a=1$ и $b=9$ в выражение для первообразной:

$\int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x) dx = F(9) - F(1) = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} + \frac{9^2}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} + \frac{1^2}{2}\right)$

Вычислим значения в каждой из скобок:

$F(9) = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 + \frac{81}{2} = \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{81}{2} = 2 \cdot 9 + \frac{81}{2} = 18 + \frac{81}{2} = \frac{36}{2} + \frac{81}{2} = \frac{117}{2}$

$F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь найдем разность этих значений:

$\frac{117}{2} - \frac{7}{6} = \frac{117 \cdot 3}{6} - \frac{7}{6} = \frac{351 - 7}{6} = \frac{344}{6} = \frac{172}{3}$

Ответ: $\frac{172}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx$ также применим формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = (0,25x + 3)^3$. Для интегрирования функции вида $(kx+m)^n$ используем формулу $\int (kx+m)^n dx = \frac{(kx+m)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.

В нашем случае $k=0,25$, $m=3$ и $n=3$.

$F(x) = \frac{(0,25x+3)^{3+1}}{0,25 \cdot (3+1)} = \frac{(0,25x+3)^4}{0,25 \cdot 4} = \frac{(0,25x+3)^4}{1} = (0,25x+3)^4$

Подставим пределы интегрирования $a=-1$ и $b=1$:

$\int_{-1}^{1} (0,25x + 3)^3 dx = F(1) - F(-1) = (0,25 \cdot 1 + 3)^4 - (0,25 \cdot (-1) + 3)^4$

Вычислим значения $F(1)$ и $F(-1)$, представив десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$F(1) = (\frac{1}{4} \cdot 1 + 3)^4 = (\frac{1}{4} + \frac{12}{4})^4 = (\frac{13}{4})^4 = \frac{13^4}{4^4} = \frac{28561}{256}$

$F(-1) = (\frac{1}{4} \cdot (-1) + 3)^4 = (-\frac{1}{4} + \frac{12}{4})^4 = (\frac{11}{4})^4 = \frac{11^4}{4^4} = \frac{14641}{256}$

Найдем разность полученных значений:

$\frac{28561}{256} - \frac{14641}{256} = \frac{28561 - 14641}{256} = \frac{13920}{256}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 16, а затем еще на 2:

$\frac{13920 \div 16}{256 \div 16} = \frac{870}{16} = \frac{870 \div 2}{16 \div 2} = \frac{435}{8}$

Ответ: $\frac{435}{8}$.