Номер 13.8, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.8. Найдите неопределенный интеграл функции $y = f(x)$ и проверьте решение с помощью дифференцирования:

1) $f(x) = 5x^{\frac{1}{5}};$

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x\sqrt{x}}};$

3) $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^3};$

4) $f(x) = (x^5 + x)^2.$

1)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = 5x^{\frac{1}{5}}$.

Для нахождения интеграла воспользуемся табличным интегралом для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и свойством вынесения константы за знак интеграла.

$\int 5x^{\frac{1}{5}} dx = 5 \int x^{\frac{1}{5}} dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C = 5 \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} + C = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

Для проверки решения найдем производную от полученной функции $F(x) = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

$F'(x) = (\frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C)' = \frac{25}{6} \cdot (\frac{6}{5}x^{\frac{6}{5}-1}) + 0 = 5x^{\frac{1}{5}} = f(x)$.

Производная от результата интегрирования равна исходной подынтегральной функции, значит, решение верно.

Ответ: $\int 5x^{\frac{1}{5}} dx = \frac{25}{6}x^{\frac{6}{5}} + C$.

2)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = \frac{1}{x\sqrt[3]{x}}$.

Сначала преобразуем подынтегральную функцию, представив ее в виде степени $x$:

$f(x) = \frac{1}{x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{1+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{-\frac{4}{3}}$.

Теперь найдем интеграл, используя ту же формулу для степенной функции:

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = -3x^{-\frac{1}{3}} + C$.

$F'(x) = (-3x^{-\frac{1}{3}} + C)' = -3 \cdot (-\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1}) + 0 = x^{-\frac{4}{3}} = f(x)$.

Производная равна исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\int \frac{1}{x\sqrt[3]{x}} dx = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$.

3)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^{\frac{3}{8}}}$.

Упростим выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$f(x) = \frac{2x^{-1}}{4x^{\frac{3}{8}}} + \frac{3x}{4x^{\frac{3}{8}}} = \frac{1}{2}x^{-1-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4}x^{1-\frac{3}{8}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}}$.

Интегрируем полученную сумму функций:

$\int (\frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}}) dx = \int \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} dx + \int \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{11}{8}+1}}{-\frac{11}{8}+1} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{5}{8}+1}}{\frac{5}{8}+1} + C$.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{3}{8}}}{-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{13}{8}}}{\frac{13}{8}} + C = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{8}{3})x^{-\frac{3}{8}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{13}x^{\frac{13}{8}} + C = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

$F'(x) = (-\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C)' = -\frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{8}x^{-\frac{3}{8}-1}) + \frac{6}{13} \cdot (\frac{13}{8}x^{\frac{13}{8}-1}) + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{6}{8}x^{\frac{5}{8}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{11}{8}} + \frac{3}{4}x^{\frac{5}{8}} = f(x)$.

Производная равна исходной функции, следовательно, интеграл найден верно.

Ответ: $\int \frac{2x^{-1} + 3x}{4x^{\frac{3}{8}}} dx = -\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{8}} + \frac{6}{13}x^{\frac{13}{8}} + C$.

4)

Найдем неопределенный интеграл для функции $f(x) = (x^5 + x)^2$.

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$f(x) = (x^5)^2 + 2 \cdot x^5 \cdot x + x^2 = x^{10} + 2x^6 + x^2$.

Теперь найдем интеграл от многочлена, интегрируя каждое слагаемое:

$\int (x^{10} + 2x^6 + x^2) dx = \int x^{10} dx + \int 2x^6 dx + \int x^2 dx = \frac{x^{11}}{11} + 2\frac{x^7}{7} + \frac{x^3}{3} + C$.

Проверим решение дифференцированием. Найдем производную от $F(x) = \frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C$.

$F'(x) = (\frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C)' = \frac{11x^{10}}{11} + \frac{2 \cdot 7x^6}{7} + \frac{3x^2}{3} + 0 = x^{10} + 2x^6 + x^2 = f(x)$.

Производная равна исходной функции после раскрытия скобок, значит, решение верно.

Ответ: $\int (x^5 + x)^2 dx = \frac{x^{11}}{11} + \frac{2}{7}x^7 + \frac{x^3}{3} + C$.