Номер 13.14, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.14. Найдите производные функции $y=f(x)$:

1) $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2\sqrt{2x}}}$;

3) $y = \frac{1+2x-x^4}{x\sqrt{x}}$;

4) $y = x^{-\sqrt{7}}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ сначала упростим выражение, представив его в виде степенной функции.$y = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{1+1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}$.Теперь найдем производную, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.Запишем результат, используя корень: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^2\sqrt[3]{2x}}$ также сначала упростим выражение.$y = \frac{1}{x^2 \cdot (2x)^{1/3}} = \frac{1}{x^2 \cdot 2^{1/3} \cdot x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{1}{x^{2+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}x^{-7/3}$.Теперь найдем производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (\frac{1}{\sqrt[3]{2}}x^{-7/3})' = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot (-\frac{7}{3})x^{-\frac{7}{3} - 1} = -\frac{7}{3\sqrt[3]{2}}x^{-10/3}$.Преобразуем выражение к более удобному виду: $y' = -\frac{7}{3\sqrt[3]{2}x^{10/3}} = -\frac{7}{3x^3\sqrt[3]{2x}}$.Ответ: $y' = -\frac{7}{3x^3\sqrt[3]{2x}}$.

3) Для функции $y = \frac{1+2x-x^4}{x\sqrt{x}}$ преобразуем знаменатель и разделим числитель на знаменатель почленно.Знаменатель: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.$y = \frac{1+2x-x^4}{x^{3/2}} = \frac{1}{x^{3/2}} + \frac{2x}{x^{3/2}} - \frac{x^4}{x^{3/2}} = x^{-3/2} + 2x^{1-\frac{3}{2}} - x^{4-\frac{3}{2}} = x^{-3/2} + 2x^{-1/2} - x^{5/2}$.Теперь найдем производную как сумму производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{-3/2})' + (2x^{-1/2})' - (x^{5/2})' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}-1} + 2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}$.$y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.Чтобы упростить выражение, вынесем за скобки общий множитель $\frac{x^{-5/2}}{2}$:$y' = \frac{x^{-5/2}}{2}(-3 - 2x^{-3/2 - (-5/2)} - 5x^{5/2 - (-5/2)}) = \frac{x^{-5/2}}{2}(-3 - 2x^{1} - 5x^{4}) = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^{5/2}}$.Запишем знаменатель с использованием корня: $y' = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^2\sqrt{x}}$.Ответ: $y' = \frac{-3-2x-5x^4}{2x^2\sqrt{x}}$.

4) Функция $y = x^{-\sqrt{7}}$ уже представлена в виде степенной функции $y = x^n$, где показатель $n = -\sqrt{7}$ является постоянным числом.Для нахождения производной используем формулу $(x^n)' = nx^{n-1}$:$y' = (x^{-\sqrt{7}})' = -\sqrt{7} \cdot x^{-\sqrt{7}-1}$.Ответ: $y' = -\sqrt{7}x^{-\sqrt{7}-1}$.