Номер 13.16, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.16. Найдите общий вид первообразных для функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi;$

2) $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}.$

1)Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi$, необходимо сначала упростить выражение для $f(x)$.

Преобразуем выражение под кубическим корнем, используя свойства степеней:

$2x\sqrt{3x} = 2x(3x)^{1/2} = 2x \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1 + 1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}$.

Теперь подставим это обратно в исходную функцию:

$f(x) = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}} + \pi = (2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2})^{1/3} + \pi = 2^{1/3} \cdot (3^{1/2})^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3} + \pi$.

Упростим степени:

$f(x) = 2^{1/3} \cdot 3^{1/6} \cdot x^{1/2} + \pi$.

Можно объединить коэффициенты: $2^{1/3} = (2^2)^{1/6} = 4^{1/6}$, поэтому $2^{1/3} \cdot 3^{1/6} = 4^{1/6} \cdot 3^{1/6} = (4 \cdot 3)^{1/6} = 12^{1/6} = \sqrt[6]{12}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \sqrt[6]{12} x^{1/2} + \pi$.

Теперь найдем общий вид первообразных $F(x)$, который представляет собой неопределенный интеграл от $f(x)$. Используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и интеграл от константы.

$F(x) = \int (\sqrt[6]{12} x^{1/2} + \pi) dx = \sqrt[6]{12} \int x^{1/2} dx + \int \pi dx$

$F(x) = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \pi x + C = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \pi x + C = \frac{2}{3}\sqrt[6]{12} x^{3/2} + \pi x + C$.

Выражение $x^{3/2}$ можно записать как $x\sqrt{x}$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}\sqrt[6]{12} x\sqrt{x} + \pi x + C$.

2)Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$, сначала упростим выражение для $f(x)$.

Разделим каждый член числителя дроби на знаменатель $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Это возможно при $x>0$.

$f(x) = \frac{3x^2}{x^{1/2}} - \frac{x^1}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} - \sqrt{2}$.

Используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$, получаем:

$f(x) = 3x^{2-1/2} - x^{1-1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2} = 3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}$.

Теперь найдем общий вид первообразных $F(x)$, проинтегрировав функцию $f(x)$ почленно, используя формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}) dx = 3\int x^{3/2}dx - \int x^{1/2}dx + \int x^{-1/2}dx - \int \sqrt{2}dx$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - \sqrt{2}x + C$

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} - \sqrt{2}x + C$

$F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.

Можно также представить ответ, используя корни: $F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.