Номер 13.22, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.22. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} - \frac{8}{x^2-4} = 0;$

2) $\frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} + \frac{6}{4-x} = 0;$

3) $\frac{4x-14}{x-3} = x-2;$

4) $\frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} - \frac{8}{x^2-4} = 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$ и $x^2-4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Разложим знаменатель $x^2-4$ на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Это общий знаменатель для всех дробей в уравнении.

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} = 0 $

Теперь мы можем отбросить знаменатель, решив уравнение для числителя, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ:

$x(x+2) - 7(x-2) - 8 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x - 7x + 14 - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Подбираем корни: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Корень $x_2=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3.

2) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x^2-4x} + \frac{6}{4-x} = 0 $.

Найдем ОДЗ: $x \neq 0$, $x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$, $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 4$.

Преобразуем уравнение, вынеся минус из знаменателя последней дроби: $4-x = -(x-4)$.

$ \frac{2}{x} + \frac{x^2+8}{x(x-4)} - \frac{6}{x-4} = 0 $

Общий знаменатель равен $x(x-4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2(x-4) + (x^2+8) - 6x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x - 8 + x^2 + 8 - 6x = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобку:

$x(x-4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 4$). Оба корня не удовлетворяют ОДЗ, следовательно, они являются посторонними.

Ответ: корней нет.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4x-14}{x-3} = x - 2 $.

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-3)$, чтобы избавиться от дроби:

$4x - 14 = (x-2)(x-3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x - 14 = x^2 - 3x - 2x + 6$

$4x - 14 = x^2 - 5x + 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 4x + 6 + 14 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2=9$ и $x_1 \cdot x_2=20$. Корни: $x_1=4$ и $x_2=5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: 4; 5.

4) Исходное уравнение: $ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{1-x} $.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Заметим, что $1-x = -(x-1)$. Подставим это в уравнение:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = \frac{2x-1}{-(x-1)} $

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 = -\frac{2x-1}{x-1} $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - 2 + \frac{2x-1}{x-1} = 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:

$ \frac{x^2-2x}{x-1} - \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{2x-1}{x-1} = 0 $

Объединим числители:

$ \frac{(x^2-2x) - 2(x-1) + (2x-1)}{x-1} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 2x - 2(x-1) + 2x - 1 = 0$

$x^2 - 2x - 2x + 2 + 2x - 1 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности:

$(x-1)^2 = 0$

Отсюда $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$). Найденный корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, он посторонний.

Ответ: корней нет.