Номер 13.20, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^2$, $x = 0$, $x = 5$, $y = \frac{1}{x^2}(x > 0)$;

2) $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$, $x = -1$, $x = 0$.

1)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 0$ и $x = 5$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по оси $x$ заданы от 0 до 5.

Для вычисления площади необходимо определить, какая из функций, $y = x^2$ или $y = \frac{1}{x^2}$, является верхней, а какая - нижней границей фигуры. Для этого найдем их точки пересечения:

$x^2 = \frac{1}{x^2} \implies x^4 = 1$

Учитывая условие $x > 0$, получаем единственную точку пересечения в первом квадранте: $x = 1$.

Таким образом, интервал интегрирования $[0, 5]$ разбивается на два подинтервала: $[0, 1]$ и $[1, 5]$.

• На интервале $(0, 1)$, выберем пробную точку $x=0.5$. Тогда $y = x^2 = 0.25$, а $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{0.25} = 4$. Значит, на этом интервале график функции $y = \frac{1}{x^2}$ лежит выше графика $y=x^2$.

• На интервале $(1, 5)$, выберем пробную точку $x=2$. Тогда $y = x^2 = 4$, а $y = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{4} = 0.25$. Значит, на этом интервале график функции $y = x^2$ лежит выше графика $y=\frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ фигуры равна сумме площадей на двух участках:

$S = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)dx + \int_{1}^{5} \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)dx$

Рассмотрим первый интеграл: $\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} - x^2\right)dx$.

Этот интеграл является несобственным, так как функция $y = \frac{1}{x^2}$ имеет разрыв в точке $x=0$. Вычислим его через предел:

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-2} dx = \lim_{a \to 0^+} \left[-\frac{1}{x}\right]_{a}^{1} = \lim_{a \to 0^+} \left(-\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{a}\right)\right) = \lim_{a \to 0^+} \left(-1 + \frac{1}{a}\right) = \infty$.

Поскольку одна из составляющих площади равна бесконечности, то и вся площадь фигуры является бесконечной.

Ответ: площадь фигуры бесконечна.

2)

Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$, $x = -1$ и $x = 0$. Площадь фигуры находится как интеграл от разности верхней и нижней ограничивающих функций по промежутку интегрирования от $x=-1$ до $x=0$.

Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 0)$. Для этого можно сравнить их значения в любой точке этого интервала, например, в точке $x = -1/8$:

$y = x^3 = \left(-\frac{1}{8}\right)^3 = -\frac{1}{512}$

$y = \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $-\frac{1}{512} > -\frac{1}{2}$, на интервале $(-1, 0)$ график функции $y = x^3$ расположен выше графика функции $y = \sqrt[3]{x}$.

Следовательно, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - \sqrt[3]{x})dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^{1/3})dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^{4/3}}{4/3}\right]_{-1}^{0} = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3}{4}x^{4/3}\right]_{-1}^{0}$

$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{3}{4}(-1)^{4/3}\right)$

$S = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-1})^4\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}(-1)^4\right) = -\left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right) = -\left(-\frac{2}{4}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.