Номер 13.21, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.21. При каком значении $a$, где $a \in (1; 2)$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$, делится пополам прямой $x = a$?

Для решения задачи необходимо найти такое значение $a$, при котором площадь под графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$ на отрезке $[1, a]$ будет равна половине площади под этим же графиком на отрезке $[1, 2]$.

1. Сначала вычислим общую площадь $S$ фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $x = 1$, $x = 2$ и $y = 0$. Эта площадь находится с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$.

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Общая площадь фигуры равна $\frac{1}{2}$.

2. По условию, прямая $x=a$ делит эту площадь пополам. Значит, площадь фигуры на отрезке от $1$ до $a$ должна быть равна половине общей площади:

$S_1 = \frac{S}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$

Площадь $S_1$ также вычисляется через интеграл:

$S_1 = \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{4}$

Вычислим этот интеграл:

$\int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{a} = \left(-\frac{1}{a}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{a}$

3. Теперь составим и решим уравнение для нахождения $a$:

$1 - \frac{1}{a} = \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{a}$

$\frac{3}{4} = \frac{1}{a}$

Отсюда находим $a$:

$a = \frac{4}{3}$

4. Проверим, что найденное значение $a$ удовлетворяет условию $a \in (1; 2)$.

$a = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Поскольку $1 < 1\frac{1}{3} < 2$, условие выполняется.

Ответ: $a = \frac{4}{3}$.