Номер 13.18, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.18. Найдите первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$, график которой проходит через точку $M(1; 1,5)$.

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку, нужно сначала найти общую первообразную, а затем, используя координаты точки, определить значение постоянной интегрирования $C$.

1. Запишем функцию $f(x)$ в виде степенных функций, чтобы было удобнее интегрировать:

$f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x} = x^{1/2} + 2x^{1/3}$

2. Найдем общую первообразную $F(x)$, интегрируя функцию $f(x)$ по правилу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + 2 \int x^{1/3} dx$

$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C$

$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$

3. Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 1.5)$. Это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $1.5$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти $C$:

$F(1) = 1.5$

$\frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C = 1.5$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, получаем:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C = 1.5$

4. Решим уравнение относительно $C$. Приведем дроби к общему знаменателю и представим $1.5$ как $\frac{3}{2}$:

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + C = \frac{3}{2}$

$\frac{4}{6} + \frac{9}{6} + C = \frac{3}{2}$

$\frac{13}{6} + C = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = \frac{9}{6} - \frac{13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

5. Подставим найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

Можно также записать ответ, используя корни:

$F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3}$

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$