Номер 13.12, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.12. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx$;

2) $\int_{1}^{32} \left(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)dx$;

3) $\int_{1}^{3} (x^3 + x)^2 dx.

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int 3x^{-2}dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a = -3$ и $b = -2$ в первообразную:

$\int_{-3}^{-2} 3x^{-2}dx = F(-2) - F(-3) = \left(-\frac{3}{-2}\right) - \left(-\frac{3}{-3}\right) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3-2}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{32} \frac{1}{\sqrt[5]{x}}dx$.

Сперва представим подынтегральную функцию в виде степени $x$: $\frac{1}{\sqrt[5]{x}} = \frac{1}{x^{1/5}} = x^{-1/5}$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{32} x^{-1/5}dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/5}$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \frac{x^{-1/5 + 1}}{-1/5 + 1} = \frac{x^{4/5}}{4/5} = \frac{5}{4}x^{4/5}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=32$:

$\int_{1}^{32} x^{-1/5}dx = F(32) - F(1) = \frac{5}{4}(32)^{4/5} - \frac{5}{4}(1)^{4/5}$.

Вычислим значения выражений в скобках:

$(32)^{4/5} = (\sqrt[5]{32})^4 = 2^4 = 16$.

$(1)^{4/5} = 1$.

Подставляем эти значения обратно:

$\frac{5}{4} \cdot 16 - \frac{5}{4} \cdot 1 = 5 \cdot 4 - \frac{5}{4} = 20 - \frac{5}{4} = \frac{80}{4} - \frac{5}{4} = \frac{75}{4}$.

Ответ: $\frac{75}{4}$.

3)

Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} (x^3 + x)^2 dx$.

Для начала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^3 + x)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot x + x^2 = x^6 + 2x^4 + x^2$.

Теперь интеграл имеет вид: $\int_{1}^{3} (x^6 + 2x^4 + x^2)dx$.

Найдем первообразную, интегрируя каждое слагаемое по отдельности:

$F(x) = \int (x^6 + 2x^4 + x^2)dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + 2\frac{x^{4+1}}{4+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^7}{7} + \frac{2x^5}{5} + \frac{x^3}{3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$ с пределами $a=1$ и $b=3$:

$\int_{1}^{3} (x^6 + 2x^4 + x^2)dx = \left(\frac{3^7}{7} + \frac{2 \cdot 3^5}{5} + \frac{3^3}{3}\right) - \left(\frac{1^7}{7} + \frac{2 \cdot 1^5}{5} + \frac{1^3}{3}\right)$.

Вычислим значения для верхнего и нижнего пределов:

$F(3) = \frac{2187}{7} + \frac{2 \cdot 243}{5} + \frac{27}{3} = \frac{2187}{7} + \frac{486}{5} + 9$.

$F(1) = \frac{1}{7} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3}$.

Теперь найдем разность $F(3) - F(1)$, сгруппировав слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$\left(\frac{2187}{7} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{486}{5} - \frac{2}{5}\right) + \left(9 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2186}{7} + \frac{484}{5} + \frac{26}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$:

$\frac{2186 \cdot 15}{105} + \frac{484 \cdot 21}{105} + \frac{26 \cdot 35}{105} = \frac{32790}{105} + \frac{10164}{105} + \frac{910}{105} = \frac{32790 + 10164 + 910}{105} = \frac{43864}{105}$.

Ответ: $\frac{43864}{105}$.