Номер 13.11, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.11. Найдите первообразную для функции $f(x) = \left(\frac{x+3}{2}\right)^8$, график которой проходит через точку $M(0; 0)$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ задается формулой $F(x) = \int f(x) dx$.

Данная функция: $f(x) = \left(\frac{x+3}{2}\right)^3$.

Прежде чем интегрировать, упростим выражение для функции:$f(x) = \frac{(x+3)^3}{2^3} = \frac{1}{8}(x+3)^3$.

Теперь найдем общий вид первообразной, вычислив интеграл:$F(x) = \int \frac{1}{8}(x+3)^3 dx$.Вынесем константу за знак интеграла:$F(x) = \frac{1}{8} \int (x+3)^3 dx$.

Интеграл от степенной функции сложного аргумента вида $(kx+b)^n$ вычисляется по формуле $\int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C$.В нашем случае $k=1$, $b=3$, $n=3$.$\int (x+3)^3 dx = \frac{(x+3)^{3+1}}{1 \cdot (3+1)} + C = \frac{(x+3)^4}{4} + C$.

Подставим результат в выражение для $F(x)$:$F(x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(x+3)^4}{4} + C = \frac{(x+3)^4}{32} + C$.Это общий вид для всех первообразных функции $f(x)$.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку M(0; 0). Это значит, что при $x=0$, значение первообразной $F(x)$ равно 0, то есть $F(0) = 0$. Используем это условие, чтобы найти значение константы $C$.

Подставим $x=0$ и $F(0)=0$ в полученное уравнение:$0 = \frac{(0+3)^4}{32} + C$$0 = \frac{3^4}{32} + C$$0 = \frac{81}{32} + C$.

Отсюда находим $C$:$C = -\frac{81}{32}$.

Подставив найденное значение $C$ в общую формулу первообразной, получаем искомую функцию:$F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$.Это можно записать и в виде одной дроби: $F(x) = \frac{(x+3)^4 - 81}{32}$.

Ответ: $F(x) = \frac{(x+3)^4}{32} - \frac{81}{32}$.