Номер 13.6, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{x}$, $y = 1$, $x = 9$;

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -2$.

1) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 1$, $x = 9$.

Для вычисления площади фигуры необходимо определить пределы интегрирования и какая из функций является верхней, а какая — нижней.

Найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$ для определения левой границы фигуры.

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Правая граница фигуры задана прямой $x = 9$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[1, 9]$.

На отрезке $[1, 9]$ сравним значения функций. Для любого $x \geq 1$, выполняется неравенство $\sqrt{x} \geq 1$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = 1$.

Площадь $S$ фигуры равна определенному интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{9} (\sqrt{x} - 1) dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную подынтегральной функции $f(x) = \sqrt{x} - 1 = x^{1/2} - 1$:

$F(x) = \int (x^{1/2} - 1) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - x = \frac{x^{3/2}}{3/2} - x = \frac{2}{3}x^{3/2} - x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x \right]_{1}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 9\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - 1\right)$

$S = \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 - 9\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3}\right)$

$S = (18 - 9) + \frac{1}{3} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$

Ответ: $\frac{28}{3}$

2) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 1$, $x = -3$, $x = -2$.

Пределы интегрирования заданы вертикальными прямыми $x = -3$ и $x = -2$.

Определим, какая из функций является верхней на отрезке $[-3, -2]$. Сравним $y=1$ и $y = \frac{1}{x^2}$.

Для любого $x \in [-3, -2]$, имеем $2 \le |x| \le 3$. Возведя в квадрат, получаем $4 \le x^2 \le 9$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{9} \le \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{4}$.

Так как максимальное значение функции $y = \frac{1}{x^2}$ на данном отрезке равно $\frac{1}{4}$, что меньше 1, то прямая $y=1$ находится выше графика функции $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней ($y=1$) и нижней ($y = \frac{1}{x^2}$) функций:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 1 - x^{-2}$:

$F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = x - \frac{x^{-1}}{-1} = x + x^{-1} = x + \frac{1}{x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x + \frac{1}{x} \right]_{-3}^{-2} = \left(-2 + \frac{1}{-2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{-3}\right)$

$S = \left(-2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-3 - \frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{-5 \cdot 3 + 10 \cdot 2}{6} = \frac{-15 + 20}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$