Номер 12.11, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.11. Методом понижения степени решите неравенство:

1) $\cos^2 x > 0.5$;

2) $\sin^2 x > 1$;

3) $\cos^2 x < 1$;

4) $\sin^2 2x < 1$.

1) Исходное неравенство: $cos^2x > 0,5$.

Для понижения степени используем формулу $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим формулу в неравенство:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} > 0,5$

Умножим обе части на 2:

$1 + cos(2x) > 1$

$cos(2x) > 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент $2x$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ с учетом периодичности.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k)$, $k \in Z$.

2) Исходное неравенство: $sin^2x > 1$.

Область значений функции синус: $[-1; 1]$. Следовательно, область значений функции $sin^2x$ есть $[0; 1]$.

Неравенство $sin^2x > 1$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.

Проверим это методом понижения степени. Используем формулу $sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - cos(2x)}{2} > 1$

$1 - cos(2x) > 2$

$-cos(2x) > 1$

$cos(2x) < -1$

Поскольку область значений функции косинус $[-1; 1]$, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Исходное неравенство: $cos^2x < 1$.

Для понижения степени используем формулу $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + cos(2x)}{2} < 1$

$1 + cos(2x) < 2$

$cos(2x) < 1$

Функция косинус всегда меньше или равна 1. Равенство $cos(2x) = 1$ достигается, когда аргумент $2x$ равен $2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(2x) < 1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(2x) = 1$.

$2x \neq 2\pi k$

$x \neq \pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \pi k$, $k \in Z$.

4) Исходное неравенство: $sin^2(2x) < 1$.

Для понижения степени используем формулу $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$sin^2(2x) = \frac{1 - cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - cos(4x)}{2}$.

Подставим в неравенство:

$\frac{1 - cos(4x)}{2} < 1$

$1 - cos(4x) < 2$

$-cos(4x) < 1$

$cos(4x) > -1$

Функция косинус всегда больше или равна -1. Равенство $cos(4x) = -1$ достигается, когда аргумент $4x$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Следовательно, неравенство $cos(4x) > -1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $cos(4x) = -1$.

$4x \neq \pi + 2\pi k$

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.