Номер 12.5, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.5. Постройте схематически график функции $y = f(x)$ и найдите про-

межутки ее монотонности:

1) $f(x) = x^4 + 2;$

2) $f(x) = x^2 - 3;$

3) $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}};$

4) $f(x) = -1 + x^{\frac{1}{3}}.$

1) Функция $f(x) = x^4 + 2$.

Это степенная функция. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 = 0$

$x = 0$

Критическая точка $x=0$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.

При $x < 0$, производная $f'(x) = 4x^3 < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

При $x > 0$, производная $f'(x) = 4x^3 > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Схематически график функции представляет собой параболу 4-й степени, симметричную относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0; 2)$ (точка минимума), ветви которой направлены вверх.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = x^5 - 3$.

Это степенная функция. Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 - 3)' = 5x^4$.

Приравняем производную к нулю:

$5x^4 = 0$

$x = 0$

Производная $f'(x) = 5x^4 \ge 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, так как $x^4$ всегда неотрицательно. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция не убывает на всей своей области определения. Поскольку функция непрерывна, она является возрастающей на всей числовой прямой.

Схематически график представляет собой кривую, похожую на кубическую параболу, смещенную на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. В точке $(0; -3)$ график имеет горизонтальную касательную (это точка перегиба).

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (1 - \sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная не обращается в ноль ни при каких значениях $x$. Она не определена в точке $x=0$, которая является концом области определения.

Определим знак производной на всей области определения $(0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} > 0$ для всех $x > 0$, то производная $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} < 0$ на всем интервале $(0; +\infty)$.

Следовательно, функция является убывающей на всей своей области определения.

Схематически график функции — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, отраженная относительно оси Ox и смещенная на 1 единицу вверх. График начинается в точке $(0; 1)$ и убывает, пересекая ось Ox в точке $(1; 0)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = -1 + x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} - 1$.

Область определения функции — все действительные числа, так как кубический корень определен для любого действительного числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt[3]{x} - 1)' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная не обращается в ноль ни при каких значениях $x$. Она не определена в точке $x=0$. Эта точка является критической.

Знаменатель производной $3\sqrt[3]{x^2}$ положителен для всех $x \ne 0$. Следовательно, производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$.

Так как производная положительна везде, кроме одной точки, где функция непрерывна, функция является возрастающей на всей области определения.

Схематически график — это график функции $y=\sqrt[3]{x}$, смещенный на 1 единицу вниз. В точке $(0; -1)$ график имеет вертикальную касательную, так как производная в этой точке стремится к бесконечности.

Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.