Номер 12.7, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.7. Приведите примеры возрастающих степенных функций с дробными показателями для:

1) $x \in [0; +\infty)$;

2) $x \in (0; +\infty)$;

3) $x \in \mathbb{R}$.

1) $x \in [0; +\infty)$

Степенная функция имеет вид $y = x^p$. Чтобы функция была возрастающей, ее производная должна быть неотрицательной. Производная степенной функции: $y' = p \cdot x^{p-1}$.

На интервале $(0; +\infty)$ множитель $x^{p-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной зависит от знака показателя $p$. Для возрастания функции необходимо, чтобы $p > 0$.

Функция $y = x^p$ с $p>0$ определена на всем промежутке $[0; +\infty)$, включая точку $x=0$, где $y=0$.

Таким образом, в качестве примера можно взять любую степенную функцию с положительным дробным показателем. Например, $y = x^{1/2}$. Эта функция $y=\sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$ и ее производная $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x > 0$, значит, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{1/2}$.

2) $x \in (0; +\infty)$

Условия для этого случая практически совпадают с предыдущим. Мы ищем возрастающую функцию $y=x^p$ на интервале $(0; +\infty)$.

Производная $y' = p \cdot x^{p-1}$ должна быть положительна. Поскольку на данном интервале $x > 0$, то $x^{p-1} > 0$. Для того чтобы производная была положительной, необходимо и достаточно, чтобы показатель степени $p$ был положителен: $p > 0$.

Выберем любой положительный дробный показатель, например $p=3/4$. Функция $y=x^{3/4}$ имеет производную $y'=\frac{3}{4}x^{-1/4}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$, которая положительна для всех $x > 0$. Следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{3/4}$.

3) $x \in \mathbb{R}$

В этом случае функция $y = x^p$ должна быть определена и возрастать на всей числовой прямой.

Пусть показатель степени – это несократимая дробь $p = m/n$. Для того чтобы функция $y = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$ была определена для отрицательных значений $x$, знаменатель $n$ должен быть нечетным числом.

Далее, функция должна быть возрастающей, то есть ее производная $y' = p \cdot x^{p-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$ должна быть неотрицательной для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим выражение $x^{p-1} = x^{\frac{m-n}{n}} = \sqrt[n]{x^{m-n}}$. Поскольку $n$ — нечетное, знак этого выражения совпадает со знаком $x^{m-n}$. Чтобы производная не меняла знак при изменении знака $x$, выражение $x^{m-n}$ должно быть всегда неотрицательным. Это возможно только если показатель $m-n$ — четное число. Так как $n$ — нечетное, то и числитель $m$ должен быть нечетным.

Наконец, чтобы производная была неотрицательной, а не неположительной, сам показатель $p$ должен быть положительным. Итак, нам нужна функция $y = x^p$ с показателем $p=m/n$, где $p > 0$, а $m$ и $n$ — нечетные натуральные числа.

Возьмем, к примеру, $p=5/3$. Функция $y=x^{5/3}$ определена на всей числовой прямой. Ее производная $y'=\frac{5}{3}x^{2/3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то и $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Следовательно, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, и функция является возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: $y = x^{5/3}$.