Номер 12.2, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12.2. Исследуйте на четность и нечетность функцию $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{11}$;

2) $f(x) = x^{\frac{1}{9}}$;

3) $f(x) = x^{-8}$;

4) $f(x) = x^{\frac{11}{12}}$;

5) $f(x) = x^{\frac{12}{13}}$;

6) $f(x) = x^{\frac{15}{17}}$;

7) $f(x) = x^{-\frac{7}{10}}$;

8) $f(x) = x^{-\frac{8}{13}}$;

9) $f(x) = x^{-\frac{11}{13}}$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность или нечетность необходимо выполнить два шага:

1. Определить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно точки $x=0$. Если для любого $x$ из области определения $-x$ также принадлежит области определения, то она симметрична. Если область определения несимметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Если область определения симметрична, необходимо проверить выполнение равенств:

• $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
• $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.

Если ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Для степенной функции $f(x) = x^p$, где показатель $p$ представлен в виде несократимой дроби $m/n$ ($p = m/n$):

• Если знаменатель $n$ — четное число, то область определения функции ($x \ge 0$ или $x > 0$) несимметрична, и функция является ни четной, ни нечетной.
• Если знаменатель $n$ — нечетное число, то область определения симметрична. Четность функции зависит от числителя $m$:
• Если $m$ — четное число, функция четная.
• Если $m$ — нечетное число, функция нечетная.

Применим эти правила к каждой из заданных функций.

1) $f(x) = x^{11}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Показатель степени $p=11$ — целое нечетное число. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{11} = -x^{11} = -f(x)$.

Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) $f(x) = x^{\frac{1}{9}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[9]{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Показатель степени $p = 1/9$, дробь несократима, знаменатель $n=9$ (нечетный), числитель $m=1$ (нечетный). Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{-x} = -\sqrt[9]{x} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $f(x) = x^{-8}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^8}$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Показатель степени $p=-8$ — целое четное число. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-8} = \frac{1}{(-x)^8} = \frac{1}{x^8} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $f(x) = x^{\frac{11}{12}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[12]{x^{11}}$. Показатель степени $p = 11/12$, знаменатель $n=12$ — четное число. Область определения функции — $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

5) $f(x) = x^{\frac{12}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[13]{x^{12}}$. Показатель степени $p=12/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=12$ — четный. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{12}{13}} = \sqrt[13]{(-x)^{12}} = \sqrt[13]{x^{12}} = f(x)$.

Функция является четной.

Ответ: четная.

6) $f(x) = x^{\frac{15}{17}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \sqrt[17]{x^{15}}$. Показатель степени $p=15/17$, знаменатель $n=17$ — нечетный, числитель $m=15$ — нечетный. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{\frac{15}{17}} = \sqrt[17]{(-x)^{15}} = \sqrt[17]{-x^{15}} = -\sqrt[17]{x^{15}} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

7) $f(x) = x^{-\frac{7}{10}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[10]{x^7}}$. Показатель степени $p = -7/10$, знаменатель $n=10$ — четное число. Область определения функции — $x > 0$, то есть $D(f) = (0; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно нуля. Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

8) $f(x) = x^{-\frac{8}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}}$. Показатель степени $p=-8/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=-8$ — четный. Область определения $x^8 \neq 0 \implies x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-\frac{8}{13}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{13}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{(-x)^8}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}} = f(x)$.

Функция является четной.

Ответ: четная.

9) $f(x) = x^{-\frac{11}{13}}$.

Функцию можно записать как $f(x) = \frac{1}{\sqrt[13]{x^{11}}}$. Показатель степени $p=-11/13$, знаменатель $n=13$ — нечетный, числитель $m=-11$ — нечетный. Область определения $x^{11} \neq 0 \implies x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична. Проверим значение $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^{-\frac{11}{13}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{11}{13}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{(-x)^{11}}} = \frac{1}{\sqrt[13]{-x^{11}}} = \frac{1}{-\sqrt[13]{x^{11}}} = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: нечетная.