Номер 11.10, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.10. Докажите, что при всех действительных значениях переменных значение выражения $\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \left(\frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy}\right)\right) \cdot \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ неотрицательно и не зависит

от x.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение. Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны равняться нулю. Отсюда получаем: $x \ge 0$, $y \ge 0$, $\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} \neq 0 \implies x \neq y$, $\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy} \neq 0 \implies x>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y \ge 0, x \neq y$.

Упростим выражение по частям.

1. Преобразуем первую дробь, разложив числитель как разность квадратов, где $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$:

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}$

2. Упростим выражение в больших скобках: $\left( \frac{x + \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right)$.

Сначала преобразуем дробь внутри скобок. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{x + \sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{xy}} = \frac{\sqrt[4]{x}((\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3)}{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}$

Используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:

$\frac{(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})((\sqrt[4]{x})^2 - \sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} + (\sqrt[4]{y})^2)}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}} = \sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}$

Теперь подставим это обратно в выражение в скобках:

$(\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}) - \sqrt[4]{xy} = \sqrt{x} - 2\sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}$

Полученное выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2$.

3. Преобразуем последний множитель $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$:

$\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2} = \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{1}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$

4. Теперь соберем все части вместе:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}}$

Поскольку $x \neq y$, то $\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y} \neq 0$, и мы можем сократить выражение:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 2\sqrt[4]{y}$

Итоговое выражение равно $2\sqrt[4]{y}$.

Проанализируем результат:

1. Выражение $2\sqrt[4]{y}$ не содержит переменную $x$, следовательно, его значение не зависит от $x$.

2. Из ОДЗ известно, что $y \ge 0$. Арифметический корень четвертой степени из неотрицательного числа $\sqrt[4]{y}$ всегда неотрицателен. Значит, $2\sqrt[4]{y} \ge 0$.

Таким образом, доказано, что значение выражения неотрицательно и не зависит от $x$.

Ответ: В результате упрощения исходное выражение равно $2\sqrt[4]{y}$. Это значение не зависит от переменной $x$ и является неотрицательным ($2\sqrt[4]{y} \ge 0$) при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.