Номер 11.3, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.3. Используя формулы сложных корней упростите выражение:

1) $\sqrt{5+\sqrt{24}}$;

2) $\sqrt{6-\sqrt{20}}$;

3) $\sqrt{7-\sqrt{13}}$;

4) $\sqrt{8+\sqrt{28}}$;

5) $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$;

6) $\sqrt{6+3\sqrt{3}}$;

7) $\sqrt{10-2\sqrt{21}}$;

8) $\sqrt{11-2\sqrt{10}}$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$, приведем его к виду $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$, который равен $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Выражение принимает вид $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Теперь необходимо найти два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Это числа 3 и 2. Таким образом, $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Следовательно, $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

2) Для выражения $\sqrt{6 - \sqrt{20}}$ сначала преобразуем внутренний корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Получаем $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 6, а произведение — 5. Это числа 5 и 1. Значит, $6 - 2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5 \cdot 1} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{1})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} = (\sqrt{5} - 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$ (поскольку $\sqrt{5} > 1$). Ответ: $\sqrt{5} - 1$.

3) В выражении $\sqrt{7 - \sqrt{13}}$ перед внутренним радикалом нет множителя 2, поэтому воспользуемся общей формулой сложного радикала: $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$. Здесь $A=7$ и $B=13$. Вычисляем $A^2 - B = 7^2 - 13 = 49 - 13 = 36$. Подставляем в формулу: $\sqrt{\frac{7 + \sqrt{36}}{2}} - \sqrt{\frac{7 - \sqrt{36}}{2}} = \sqrt{\frac{7 + 6}{2}} - \sqrt{\frac{7 - 6}{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{2}}$. Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{(\sqrt{13}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{26}-\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{26}-\sqrt{2}}{2}$.

4) В выражении $\sqrt{8 + \sqrt{28}}$ преобразуем $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. Получаем $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение 7. Это числа 7 и 1. Значит, $8 + 2\sqrt{7} = 7 + 1 + 2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} + 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$. Ответ: $\sqrt{7} + 1$.

5) Выражение $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$ уже имеет вид, удобный для выделения полного квадрата. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение 15. Это числа 5 и 3. Значит, $8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$. Таким образом, $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

6) В выражении $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$ внесем множитель 3 под внутренний корень: $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Получаем $\sqrt{6 + \sqrt{27}}$. Теперь используем общую формулу с $A=6$ и $B=27$. Вычисляем $A^2 - B = 6^2 - 27 = 36 - 27 = 9$. Подставляем в формулу: $\sqrt{\frac{6 + \sqrt{9}}{2}} + \sqrt{\frac{6 - \sqrt{9}}{2}} = \sqrt{\frac{6 + 3}{2}} + \sqrt{\frac{6 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем $\frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.

7) В выражении $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ ищем два числа, сумма которых равна 10, а произведение 21. Это числа 7 и 3. Значит, $10 - 2\sqrt{21} = 7 + 3 - 2\sqrt{7 \cdot 3} = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$. Таким образом, $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

8) В выражении $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}}$ ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение 10. Это числа 10 и 1. Значит, $11 - 2\sqrt{10} = 10 + 1 - 2\sqrt{10 \cdot 1} = (\sqrt{10} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{10} - 1)^2$. Таким образом, $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 1)^2} = \sqrt{10} - 1$ (поскольку $\sqrt{10} > 1$). Ответ: $\sqrt{10} - 1$.