Номер 10.21, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.21. Решите неравенство:

1) $\frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-2} > 0$;

2) $(x - 2)^2(x + 3)(x - 4) < 0.$

1)

Решим неравенство $ \frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-2} > 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $ x \neq 0 $, $ x \neq 1 $ и $ x \neq 2 $.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x-1)(x-2) $:

$ \frac{2(x-1)(x-2)}{x(x-1)(x-2)} - \frac{3x(x-2)}{x(x-1)(x-2)} + \frac{x(x-1)}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

$ \frac{2(x-1)(x-2) - 3x(x-2) + x(x-1)}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ 2(x^2 - 2x - x + 2) - (3x^2 - 6x) + (x^2 - x) = 2(x^2 - 3x + 2) - 3x^2 + 6x + x^2 - x $

$ = 2x^2 - 6x + 4 - 3x^2 + 6x + x^2 - x $

Сгруппируем подобные члены:

$ (2x^2 - 3x^2 + x^2) + (-6x + 6x - x) + 4 = 0 \cdot x^2 - x + 4 = 4 - x $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{4-x}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ 4 - x = 0 \implies x = 4 $.

Нули знаменателя: $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $.

Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разделяют ось на пять интервалов: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 1) $, $ (1; 2) $, $ (2; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x=5 $. $ \frac{4-5}{5(5-1)(5-2)} = \frac{-}{(+)(+)(+)} < 0 $.
• Интервал $ (2; 4) $: возьмем $ x=3 $. $ \frac{4-3}{3(3-1)(3-2)} = \frac{+}{(+)(+)(+)} > 0 $.
• Интервал $ (1; 2) $: возьмем $ x=1.5 $. $ \frac{4-1.5}{1.5(1.5-1)(1.5-2)} = \frac{+}{(+)(+)(-)} < 0 $.
• Интервал $ (0; 1) $: возьмем $ x=0.5 $. $ \frac{4-0.5}{0.5(0.5-1)(0.5-2)} = \frac{+}{(+)(-)(-)} > 0 $.
• Интервал $ (-\infty; 0) $: возьмем $ x=-1 $. $ \frac{4-(-1)}{(-1)(-1-1)(-1-2)} = \frac{+}{(-)(-)(-)} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $ (0; 1) $ и $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (2; 4) $.

2)

Решим неравенство $ (x-2)^2(x+3)(x-4) < 0 $.

Используем метод интервалов. Найдем корни левой части неравенства, приравняв ее к нулю: $ (x-2)^2(x+3)(x-4) = 0 $.

Корни уравнения:

• $ x+3 = 0 \implies x = -3 $ (корень первой кратности)
• $ x-2 = 0 \implies x = 2 $ (корень второй кратности, четный)
• $ x-4 = 0 \implies x = 4 $ (корень первой кратности)

Нанесем эти точки на числовую ось. Поскольку неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разделяют ось на интервалы: $ (-\infty; -3) $, $ (-3; 2) $, $ (2; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале. Важно отметить, что множитель $ (x-2)^2 $ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $ x=2 $ знак всего выражения меняться не будет.

• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x=5 $. $ (5-2)^2(5+3)(5-4) = (+)(+)(+) > 0 $.
• Интервал $ (2; 4) $: возьмем $ x=3 $. $ (3-2)^2(3+3)(3-4) = (+)(+)(-) < 0 $.
• Интервал $ (-3; 2) $: возьмем $ x=0 $. $ (0-2)^2(0+3)(0-4) = (+)(+)(-) < 0 $.
• Интервал $ (-\infty; -3) $: возьмем $ x=-4 $. $ (-4-2)^2(-4+3)(-4-4) = (+)(-)(-) > 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля. Это $ (-3; 2) $ и $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (-3; 2) \cup (2; 4) $.