Номер 10.18, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.18. Какое значение принимает выражение:

1) $\left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-2} + a^{\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}$ при $x = \left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$;

2) $\left(\frac{\left(x^2 + 1\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(x^2 - 1\right)^{-\frac{1}{2}}}{\left(x^2 + 1\right)^{-\frac{1}{2}} - \left(x^2 - 1\right)^{-\frac{1}{2}}}\right)^{-2}$ при $x = \left(\frac{m^2 + n^2}{2mn}\right)^{\frac{1}{2}}$, если

a) $n > m > 0$;

б) $m > n > 0$;

в) $m = n = 1$.

1)

Для начала упростим выражение в скобках. Обозначим всё выражение как $E$.

$E = \left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-2} + a^{-\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Рассмотрим первое слагаемое:

$\left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{a^{2/3}x^{4/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^{2/3} + x^{2/3}}{a^{2/3}x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^{2/3}x^2}{a^{2/3} + x^{2/3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Рассмотрим второе слагаемое:

$\left(a^{-2} + a^{-\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^{4/3}x^{2/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{x^{2/3} + a^{2/3}}{a^2x^{2/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^2x^{2/3}}{a^{2/3} + x^{2/3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Теперь используем заданное условие $x = \left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Из условия следует, что $1-a^{\frac{2}{3}} \ge 0$, то есть $a^{\frac{2}{3}} \le 1$. Также $x \ge 0$.

Возведем обе части условия в степень $\frac{2}{3}$:

$x^{\frac{2}{3}} = \left(\left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1-a^{\frac{2}{3}}$

Отсюда получаем важное соотношение: $x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} = 1$.

Подставим это в упрощенные слагаемые. Для существования выражения $a \neq 0$. Будем считать, что $a \in (0, 1]$, тогда $|a| = a$.

Первое слагаемое: $\left(\frac{a^{2/3}x^2}{1}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^{2/3}x^2} = |x|a^{1/3}$. Так как $x \ge 0$, это равно $xa^{1/3}$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{a^2x^{2/3}}{1}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2x^{2/3}} = |a|x^{1/3}$. Так как $a > 0$, это равно $ax^{1/3}$.

Теперь сложим оба слагаемых:

$E = xa^{1/3} + ax^{1/3}$

Вынесем общий множитель $a^{1/3}x^{1/3}$:

$E = a^{1/3}x^{1/3}\left(x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)$

Так как $x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} = 1$, выражение принимает вид:

$E = a^{1/3}x^{1/3} \cdot 1 = (ax)^{1/3}$

Это значение зависит от $a$ и $x$. Выразим его только через $a$:

$E = \left(a \cdot \left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}\left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Заметим, что в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, так как обычно в подобных заданиях ответ является константой. Приведенное решение соответствует тексту задачи из изображения.

Ответ: $(ax)^{1/3}$ или $a^{1/3}(1-a^{2/3})^{1/2}$.

2)

Обозначим данное выражение как $E$:

$E = \left[ \frac{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}} \right]^{-2}$

Преобразуем дробь внутри скобок, используя $a^{-n} = 1/a^n$:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}}}{\frac{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}$

Используем заданное условие $x = \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}}$.

Возведем в квадрат: $x^2 = \frac{m^2+n^2}{2mn}$. Для корректности выражения $x^2-1>0$, что означает $\frac{(m-n)^2}{2mn} > 0$, т.е. $m \ne n$ и $mn>0$.

Найдем значения $x^2+1$ и $x^2-1$:

$x^2+1 = \frac{m^2+n^2}{2mn} + 1 = \frac{m^2+2mn+n^2}{2mn} = \frac{(m+n)^2}{2mn}$

$x^2-1 = \frac{m^2+n^2}{2mn} - 1 = \frac{m^2-2mn+n^2}{2mn} = \frac{(m-n)^2}{2mn}$

Подставим это в корни:

$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\frac{(m+n)^2}{2mn}} = \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}$

$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\frac{(m-n)^2}{2mn}} = \frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}}$

Теперь подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{\frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}} + \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}}{\frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}} - \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}} = \frac{|m-n|+|m+n|}{|m-n|-|m+n|}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $n > m > 0$

В этом случае $m+n > 0$, поэтому $|m+n| = m+n$.

$m-n < 0$, поэтому $|m-n| = -(m-n) = n-m$.

Дробь равна: $\frac{(n-m)+(m+n)}{(n-m)-(m+n)} = \frac{2n}{-2m} = -\frac{n}{m}$.

Тогда исходное выражение $E = \left(-\frac{n}{m}\right)^{-2} = \left(-\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{n^2}$.

б) $m > n > 0$

В этом случае $m+n > 0$, поэтому $|m+n| = m+n$.

$m-n > 0$, поэтому $|m-n| = m-n$.

Дробь равна: $\frac{(m-n)+(m+n)}{(m-n)-(m+n)} = \frac{2m}{-2n} = -\frac{m}{n}$.

Тогда исходное выражение $E = \left(-\frac{m}{n}\right)^{-2} = \left(-\frac{n}{m}\right)^2 = \frac{n^2}{m^2}$.

Ответ: $\frac{n^2}{m^2}$.

в) $m = n = 1$

При $m=n$, знаменатель $2mn$ не равен нулю, но $x^2-1 = \frac{(m-n)^2}{2mn} = 0$.

Выражение $(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ становится неопределенным, так как содержит деление на ноль.

Строго говоря, при $m=n$ выражение не определено. Однако, если найти предел выражения при $m \to n$, то в обоих случаях (a и б) он будет равен 1.

$\lim_{m \to n} \frac{n^2}{m^2} = \frac{n^2}{n^2} = 1$.

Вероятно, это и является искомым значением.

Ответ: 1.