Номер 10.12, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.12. Упростите:

1) $\frac{a^{-\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a}}{a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{x}}{x^{-\frac{4}{3}}}$;

3) $\frac{a - 16a^{0.5}}{5a^{0.25} + 20}$;

4) $\frac{x^{\frac{4}{3}} y + x y^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{a^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{a}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$ представим все члены в виде степеней с рациональным показателем. Корень $\sqrt[3]{a}$ равен $a^{\frac{1}{3}}$.Исходное выражение преобразуется к виду: $\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{7}{6}}}$.Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.В числителе: $a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.В знаменателе: $a^{\frac{1}{4} + \frac{7}{6}} = a^{\frac{3}{12} + \frac{14}{12}} = a^{\frac{17}{12}}$.Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{17}{12}}}$.Применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$a^{\frac{5}{6} - \frac{17}{12}} = a^{\frac{10}{12} - \frac{17}{12}} = a^{-\frac{7}{12}}$.

Ответ: $a^{-\frac{7}{12}}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[9]{x}}{x^{-\frac{4}{9}}}$ представим корень в виде степени: $\sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$.Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{9}}}{x^{-\frac{4}{9}}}$.Упростим числитель, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:$x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = x^{\frac{3}{9} + \frac{1}{9}} = x^{\frac{4}{9}}$.Теперь выражение выглядит так: $\frac{x^{\frac{4}{9}}}{x^{-\frac{4}{9}}}$.Применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$x^{\frac{4}{9} - (-\frac{4}{9})} = x^{\frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = x^{\frac{8}{9}}$.

Ответ: $x^{\frac{8}{9}}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{a - 16a^{0.5}}{5a^{0.25} + 20}$ разложим числитель и знаменатель на множители.В числителе вынесем за скобки $a^{0.5}$:$a - 16a^{0.5} = a^{0.5}(a^{0.5} - 16)$.Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $a^{0.5} = (a^{0.25})^2$ и $16 = 4^2$.$a^{0.5}(a^{0.5} - 16) = a^{0.5}((a^{0.25})^2 - 4^2) = a^{0.5}(a^{0.25} - 4)(a^{0.25} + 4)$.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 5:$5a^{0.25} + 20 = 5(a^{0.25} + 4)$.Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:$\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)(a^{0.25} + 4)}{5(a^{0.25} + 4)}$.Сократим общий множитель $(a^{0.25} + 4)$:$\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)}{5}$.

Ответ: $\frac{a^{0.5}(a^{0.25} - 4)}{5}$.

4) Для упрощения выражения $\frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}$ сначала представим корни в знаменателе в виде степеней: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}$.Выражение примет вид: $\frac{x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$.Теперь разложим числитель на множители. Заметим, что $x^{\frac{4}{3}} = x \cdot x^{\frac{1}{3}}$ и $y^{\frac{4}{3}} = y \cdot y^{\frac{1}{3}}$.$x^{\frac{4}{3}}y + xy^{\frac{4}{3}} = (x \cdot x^{\frac{1}{3}})y + x(y \cdot y^{\frac{1}{3}})$.Вынесем общий множитель $xy$ за скобки:$xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$.Подставим разложенный числитель в дробь:$\frac{xy(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$.Сократим общий множитель $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$ в числителе и знаменателе.В результате получим $xy$.

Ответ: $xy$.