Номер 10.16, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Упростите (10.16—10.17):

10.16. 1) $
\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}-b\right)^2 \cdot \left(\frac{b}{a^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b}+1\right)}{\frac{b^2}{a^{\frac{2}{3}}}-\frac{b}{a^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^2}-\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b}};$

2) $
\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}+a^{\frac{1}{8}}+1} + \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{8}}+1} - \frac{2\sqrt{a}-2}{a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{4}}+1}.$

1)

Для упрощения данного выражения введем замену $x = a^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{2}{3}}$ и $x^3 = a$.

Выражение примет вид:

$\frac{\left(x - b\right)^2 \cdot \left(\frac{b}{x} + \frac{x}{b} + 1\right)}{\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x} + \frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b}}$

Рассмотрим числитель. Преобразуем второй множитель, приведя к общему знаменателю:

$\frac{b}{x} + \frac{x}{b} + 1 = \frac{b^2 + x^2 + xb}{xb}$

Тогда числитель равен:

$(x-b)^2 \cdot \frac{x^2+xb+b^2}{xb} = (x-b) \cdot \frac{(x-b)(x^2+xb+b^2)}{xb}$

Используя формулу разности кубов $x^3 - b^3 = (x-b)(x^2+xb+b^2)$, получаем:

$(x-b) \cdot \frac{x^3 - b^3}{xb}$

Теперь рассмотрим знаменатель. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x} + \frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b} = \left(\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x}\right) + \left(\frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b}\right) = \frac{b(b-x)}{x^2} + \frac{x(x-b)}{b^2}$

Вынесем общий множитель $(x-b)$:

$(x-b)\left(\frac{x}{b^2} - \frac{b}{x^2}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b^2x^2$:

$(x-b)\left(\frac{x \cdot x^2 - b \cdot b^2}{b^2x^2}\right) = (x-b)\frac{x^3-b^3}{b^2x^2}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{(x-b) \frac{x^3-b^3}{xb}}{(x-b)\frac{x^3-b^3}{b^2x^2}} = \frac{\frac{1}{xb}}{\frac{1}{b^2x^2}} = \frac{1}{xb} \cdot \frac{b^2x^2}{1} = \frac{b^2x^2}{xb} = bx$

Выполним обратную замену $x = a^{\frac{1}{3}}$:

$b \cdot a^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $b a^{\frac{1}{3}}$.

2)

Для упрощения выражения введем замену $y = a^{\frac{1}{8}}$. Тогда $y^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $y^4 = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

Выражение примет вид:

$\frac{1}{y^2 + y + 1} + \frac{1}{y^2 - y + 1} - \frac{2y^4 - 2}{y^4 - y^2 + 1}$

Сначала сложим первые две дроби. Общий знаменатель для них: $(y^2+y+1)(y^2-y+1) = (y^2+1)^2 - y^2 = y^4+2y^2+1-y^2 = y^4+y^2+1$.

$\frac{(y^2-y+1) + (y^2+y+1)}{y^4+y^2+1} = \frac{2y^2+2}{y^4+y^2+1} = \frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1}$

Теперь вычтем из полученного результата третью дробь:

$\frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1} - \frac{2y^4-2}{y^4-y^2+1} = \frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1} - \frac{2(y^4-1)}{y^4-y^2+1}$

Приведем к общему знаменателю $(y^4+y^2+1)(y^4-y^2+1) = (y^4+1)^2 - (y^2)^2 = y^8+2y^4+1-y^4 = y^8+y^4+1$.

Числитель будет равен:

$2(y^2+1)(y^4-y^2+1) - 2(y^4-1)(y^4+y^2+1)$

Раскроем скобки. Используем тождества $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$ и $k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$.

$2(y^2+1)((y^2)^2-y^2+1) = 2((y^2)^3+1) = 2(y^6+1)$.

$2(y^4-1)(y^4+y^2+1) = 2(y^2-1)(y^2+1)(y^4+y^2+1) = 2(y^2-1) \cdot ((y^2)^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 + (y^2)+ (y^2) ...$ Нет, эта формула не подходит.

Раскроем скобки напрямую:

$2(y^2+1)(y^4-y^2+1) = 2(y^6 - y^4 + y^2 + y^4 - y^2 + 1) = 2(y^6+1)$.

$2(y^4-1)(y^4+y^2+1) = 2(y^8 + y^6 + y^4 - y^4 - y^2 - 1) = 2(y^8 + y^6 - y^2 - 1)$.

Вычтем второе из первого:

$2(y^6+1) - 2(y^8 + y^6 - y^2 - 1) = 2(y^6 + 1 - y^8 - y^6 + y^2 + 1) = 2(-y^8 + y^2 + 2)$.

Таким образом, всё выражение равно:

$\frac{2(-y^8 + y^2 + 2)}{y^8 + y^4 + 1}$

Выполним обратную замену: $y^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $y^4 = a^{\frac{1}{2}}$, $y^8 = a$.

$\frac{2(-a + a^{\frac{1}{4}} + 2)}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1}$

Ответ: $\frac{2(-a + a^{\frac{1}{4}} + 2)}{a + \sqrt{a} + 1}$.