Номер 10.13, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.13. Докажите равенство:

1) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} \cdot 16^3 = \left(4\sqrt{3}\right)^{-4} $;

2) $ \frac{12^{\sqrt{48}}}{4^{\sqrt{108}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{\sqrt{27}}} = \left(6 \cdot 2^{19}\right)^{\sqrt{3}} $.

1)Для доказательства или опровержения равенства преобразуем его левую и правую части, приведя степени к общим основаниям.Сначала преобразуем левую часть равенства (ЛЧ):ЛЧ = $(\frac{1}{2})^{12} \cdot 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (\frac{1}{8})^{\sqrt{27}} \cdot 16^3$.Представим все основания в виде степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $4 = 2^2$, $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, $16 = 2^4$.Также упростим показатель степени: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.Подставим эти значения в левую часть:ЛЧ = $(2^{-1})^{12} \cdot (2^2)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot (2^{-3})^{3\sqrt{3}} \cdot (2^4)^3$.Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:ЛЧ = $2^{-12} \cdot 2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} \cdot 2^{12} = 2^{-12} \cdot 2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-9\sqrt{3}} \cdot 2^{12}$.Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:ЛЧ = $2^{-12 + \sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 12} = 2^{(-12+12) + (\sqrt{3}-9\sqrt{3})} = 2^{-8\sqrt{3}}$.Теперь преобразуем правую часть равенства (ПЧ):ПЧ = $(4\sqrt{3})^{-4}$.Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:ПЧ = $4^{-4} \cdot (\sqrt{3})^{-4} = (2^2)^{-4} \cdot (3^{1/2})^{-4} = 2^{-8} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^8 \cdot 3^2} = \frac{1}{256 \cdot 9} = \frac{1}{2304}$.Сравним левую и правую части:ЛЧ = $2^{-8\sqrt{3}}$, а ПЧ = $\frac{1}{2304}$.Так как $2^{-8\sqrt{3}}$ является иррациональным числом, а $\frac{1}{2304}$ — рациональным, эти два числа не могут быть равны. Следовательно, исходное равенство неверно.Ответ: Равенство неверно.

2)Для доказательства равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности.Рассмотрим левую часть (ЛЧ):ЛЧ = $\frac{12^{\sqrt{48}}}{4^{\sqrt{108}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{\sqrt{27}}}$.Упростим корни в показателях степеней:$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$,$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$,$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.Подставим упрощенные значения в выражение:ЛЧ = $\frac{12^{4\sqrt{3}}}{4^{6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{6^{3\sqrt{3}}}$.Теперь представим основания степеней через их простые множители (2 и 3):$12 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$.Подставим эти разложения в левую часть:ЛЧ = $\frac{(2^2 \cdot 3)^{4\sqrt{3}}}{(2^2)^{6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{(2 \cdot 3)^{3\sqrt{3}}}$.Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:ЛЧ = $\frac{2^{2 \cdot 4\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{2 \cdot 6\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}} = \frac{2^{8\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}}} \cdot \frac{2^{27\sqrt{3}}}{2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}$.Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:ЛЧ = $(2^{8\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 27\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}) \cdot (3^{4\sqrt{3} - 3\sqrt{3}})$.Вычислим показатели:Для основания 2: $(8 - 12 + 27 - 3)\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.Для основания 3: $(4 - 3)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.Таким образом, левая часть равна:ЛЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ):ПЧ = $(6 \cdot 2^{19})^{\sqrt{3}}$.Применим свойство $(ab)^n = a^n b^n$:ПЧ = $6^{\sqrt{3}} \cdot (2^{19})^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}}$.Разложим основание 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.ПЧ = $(2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} \cdot 2^{19\sqrt{3}}$.Сгруппируем степени с основанием 2:ПЧ = $2^{\sqrt{3} + 19\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}} = 2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Мы получили, что ЛЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$ и ПЧ = $2^{20\sqrt{3}} \cdot 3^{\sqrt{3}}$.Поскольку левая и правая части равны, равенство доказано.Ответ: Равенство доказано.