Номер 10.10, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите (10.10—10.11):

10.10. 1) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$;

2) $\left(\sqrt[3]{6}\right)^{-\sqrt{3}}$;

3) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{9}\right)^{1.5}$;

4) $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 \cdot \left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$.

1) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{8}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$, $m = \sqrt{2}$, $n = -\sqrt{8}$.

Перемножим показатели степени: $\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{8}) = -\sqrt{2 \cdot 8} = -\sqrt{16} = -4$.

Получаем выражение: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

2) $\left((\sqrt[3]{6})^{\sqrt{3}}\right)^{-3\sqrt{3}}$

Представим кубический корень в виде степени: $\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$.

Выражение примет вид: $\left(\left(6^{\frac{1}{3}}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{-3\sqrt{3}}$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ дважды, перемножив все показатели степени: $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3})$.

Вычислим показатель: $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -1 \cdot 3 = -3$.

Получаем выражение: $6^{-3}$.

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$.

Ответ: $\frac{1}{216}$

3) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5}$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.75 = \frac{3}{4}$. Тогда $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.

Третье слагаемое: $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1.5 = \frac{3}{2}$. Тогда $\left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{3}{2}} = 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

Подставим найденные значения в исходное выражение: $4 - 8 + 27 = -4 + 27 = 23$.

Ответ: 23

4) $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 \cdot \left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$

Выражение состоит из произведения двух множителей.

Первый множитель: $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0$. Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Основание степени $64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8} = \sqrt{64} + \frac{3}{8} = 8 + \frac{3}{8} \ne 0$. Следовательно, $\left(64^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{8}\right)^0 = 1$.

Второй множитель: $\left(343^{\frac{1}{3}} - 81^{\frac{1}{2}}\right)$. Вычислим значения степеней: $343^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$. $81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Тогда второй множитель равен $7 - 9 = -2$.

Перемножим результаты: $1 \cdot (-2) = -2$.

Ответ: -2