Номер 10.3, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.3. Запишите следующие корни в виде степени с дробным показателем:

1) $ \sqrt[3]{a^2} $; 2) $ \sqrt[3]{b^3} $; 3) $ \sqrt[3]{a^2 + b^2} $; 4) $ \sqrt[3]{x - y} $;

5) $ \sqrt[5]{a^2 b^3} $; 6) $ \frac{1}{\sqrt{a}} $; 7) $ \frac{1}{\sqrt{a + b}} $; 8) $ \frac{2}{\sqrt[3]{a - b}} $.

1) По определению степени с дробным показателем, корень n-ой степени из числа в степени m можно записать как это число в степени m/n: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. В данном выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$.

Таким образом, $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

2) Используем ту же формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Здесь показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$.

Следовательно, $\sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{3}{5}}$.

Ответ: $b^{\frac{3}{5}}$

3) В этом примере подкоренное выражение представляет собой сумму $(a^2 + b^2)$, которую мы рассматриваем как единое целое. Степень этого выражения равна $m=1$, а показатель корня $n=3$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{a^2 + b^2} = \sqrt[3]{(a^2 + b^2)^1} = (a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$

4) Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение — это $(x - y)$ в степени $m=1$. Показатель корня $n=3$.

Применяем формулу:

$\sqrt[3]{x - y} = \sqrt[3]{(x - y)^1} = (x - y)^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(x - y)^{\frac{1}{3}}$

5) Здесь подкоренное выражение — это произведение $a^2 b^3$. Показатель корня $n=5$.

$\sqrt[5]{a^2 b^3} = (a^2 b^3)^{\frac{1}{5}}$.

Используя свойство степени $(xy)^z = x^z y^z$, можно также раскрыть скобки:

$(a^2 b^3)^{\frac{1}{5}} = (a^2)^{\frac{1}{5}} (b^3)^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}} b^{\frac{3}{5}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$

6) В данном случае корень находится в знаменателе. Сначала представим корень в виде степени. Квадратный корень $\sqrt{a}$ эквивалентен $\sqrt[2]{a^1}$, что равно $a^{\frac{1}{2}}$.

Теперь исходное выражение выглядит как $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем:

$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$

7) Этот пример похож на предыдущий. Сначала преобразуем знаменатель.

$\sqrt{a+b}$ — это квадратный корень из выражения $(a+b)$, то есть $\sqrt[2]{(a+b)^1} = (a+b)^{\frac{1}{2}}$.

Теперь исходное выражение: $\frac{1}{(a+b)^{\frac{1}{2}}}$.

Применяя правило отрицательной степени, получаем:

$(a+b)^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$

8) Здесь у нас есть множитель 2 в числителе и корень в знаменателе.

Преобразуем корень в знаменателе: $\sqrt[3]{a-b} = \sqrt[3]{(a-b)^1} = (a-b)^{\frac{1}{3}}$.

Исходное выражение принимает вид $\frac{2}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.

Это можно переписать как $2 \cdot \frac{1}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.

Используя свойство отрицательной степени, получаем:

$2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$