Номер 9.18, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.18. Найдите значение выражения:

1) $4^3 \cdot 2^{-3} \cdot 32 : 8^3;$

2) $9^3 \cdot 3^{-3} \cdot 243 : 27^2.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $4^3 \cdot 2^{-3} \cdot 32 : 8^3$, представим все основания степеней в виде степени числа 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$, $32 = 2^5$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^2)^3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : (2^3)^3$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : 2^{3 \cdot 3} = 2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : 2^9$

Теперь используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$. Выполним действия с показателями степеней слева направо:

$2^{6 + (-3) + 5 - 9} = 2^{3 + 5 - 9} = 2^{8 - 9} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для того чтобы найти значение выражения $9^3 \cdot 3^{-3} \cdot 243 : 27^2$, представим все основания степеней в виде степени числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$, $243 = 3^5$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(3^2)^3 \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : (3^3)^2$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : 3^{3 \cdot 2} = 3^6 \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : 3^6$

Используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$), выполним действия с показателями степеней:

$3^{6 + (-3) + 5 - 6} = 3^{3 + 5 - 6} = 3^{8 - 6} = 3^2$

Вычислим итоговое значение:

$3^2 = 9$

Ответ: 9.